Применение теории размерности. П–теорема

Величины, численное значение которых зависит от принятых масштабов, т. е. от системы единиц измерения, называются размерными. К ним относятся: длина, время, масса, площадь, объём, сила, энергия, момент силы и т. д. Величины, численное значение которых не зависит от применяемой системы единиц измерения, называются безразмерными. Безразмерные величины: углы, отношение двух длин, отношение квадрата длины к площади, отношение энергии к моменту силы и т. п.

Различные физические величины связаны между собой определёнными соотношениями. Поэтому если некоторые из этих величин принять за основные и установить для них какие-то единицы измерения, то единицы измерения всех остальных величин будут определённым образом выражаться через единицы измерения основных величин. Принятые для основных величин единицы измерения называют основными, а все остальные – производными. Обычно в качестве основных принимаются три величины: единица длины – метр [м], единица массы – килограмм [кг] и единица времени – секунда [с]. Размерности всех остальных величин выражаются через основные размерности.

Метод анализа размерностей с использованием неопределённых показателей степеней часто применяется при нахождении зависимостей аэродинамических сил и моментов от основных физических параметров, которые определяют эти силы и моменты.

Рассмотрим обтека­ние летательного аппа­рата потоком воздуха, парал­лельным оси симметрии со скоро­стью .

Пусть ЛА (рис. 24) вращается вокруг оси симметрии с угловой скоростью , которая зависит от времени, и задана производная по времени . Требуется получить критерии подобия рас­сматриваемого течения при определении момента аэродинамических сил вокруг оси .

Будем исходить из теории размерности [10].

Очевидно, что рассматриваемый момент зависит от следующих физических величин: – размах крыла; – диаметр корпуса; , и – плотность, кинематический коэффициент вязкости и давление набегающего потока; , , и – были определены ранее; – модуль упругости материала летательного аппарата. Таким образом, . (7.1)

Рассмотрим размерности величин, входящих в равенство (7.1):

, , , , , , , , .

Размерности всех приведенных величин представляют собой функции трёх размерных параметров , и , отсюда следует, что из всех этих величин имеется не более трёх с независимыми размерностями, а размерности всех остальных величин могут быть выражены через размерности этих трёх. В качестве независимых примем первые три величины, входящие в функцию (7.1): , и .

Выразим размерности всех остальных параметров через размерности величин , и :

.

Приравнивая показатели степени при размерности килограмм, получаем

.

Приравнивая показатели при секунде, найдём

.

Сравнивая показатели при метре, получаем

,

откуда следует, что

.

Таким образом, можно записать

.

(7.2)

Для диаметра корпуса

.

(7.3)

Для угловой скорости

,

откуда получим:

– из размерности – ;

– из размерности – ;

– из размерности – , т. е.

.

(7.4)

Для кинематического коэффициента вязкости

.

Сравнивая размерности, получаем:

– из размерности – ;

– из размерности – ;

– из размерности – ,

поэтому

.

(7.5)

Для давления невозмущённого потока

.

Сравнивая размерности, получаем:

– из размерности – ;

– из размерности – ;

– из размерности – ,

поэтому

.

(7.6)

Для углового ускорения

.

Сравнивая размерности, получаем:

– из размерности – ;

– из размерности – ;

– из размерности – ,

поэтому

.

(7.7)

Для модуля упругости

.

(7.8)

Соотношение (7.1) не зависит от выбора единиц измерения. Заменим систему единиц измерения так, чтобы параметр изменился в раз, параметр – в раз и параметр – в раз. Тогда согласно формулам (7.2) – (7.8) остальные величины изменятся таким образом:

, , , , , , ,

где коэффициенты пропорциональности, входящие в записанные формулы, принимают следующие значения:

, , , , , , .

Равенство (7.1) в новой системе единиц измерения можно записать так:

.

(7.9)

Здесь величины , и произвольны. Выберем их так, чтобы в соотношении (7.9) уменьшилось количество аргументов функции . Положим

, и ,

тогда

.

В этой формуле все выражения, кроме единиц, есть значения величин в новой системе единиц исчисления и обозначаются через :

, , , , , ,

.

(7.10)

Все выражения имеют нулевую размерность относительно величин , и , значит, они безразмерны. Таким образом,

.

(7.11)

Формула (7.1) связывает десять размерных величин, а (7.11) – семь безразмерных величин. Количество независимых переменных уменьшилось на число независимых размерностей в формуле (7.1). В этом заключается сущность –теоремы:

Если для физического явления существует зависимость между размерными величинами, причём все эти величины выражаются через независимых размерностей, то указанная зависимость может быть преобразована в зависимость между безразмерными комплексами параметров. Полученные комплексы параметров можно трактовать как критерии подобия рассматриваемого физического явления.

Полученные значения параметров не зависят от выбора первоначальной системы единиц измерения массы, времени и длины. Следовательно, в подобных явлениях эти величины можно рассматривать как безразмерные константы.

Проанализируем каждое из равенств (7.10) в отдельности.

Второе равенство (7.10) означает геометрическое подобие обтекаемых тел. Используя параметр , представляющий собой отношение диаметра корпуса к размаху крыла, записываем

.

(7.12)

Величина, обратная параметру из третьего равенства, называется числом Струхаля :

.

(7.13)

В этом случае равенство (7.13) означает, что в подобных явлениях отношение скорости набегающего потока к окружной скорости вращения для сходственных точек должно быть одинаковым.

Четвёртое из равенств (7.10) даёт число Рейнольдса – критерий подобия по вязкости :

.

(7.14)

При анализе пятого из равенств (7.10) рассмотрим формулу для скорости звука

,

т. е.

.

Таким образом, получили число Маха – критерий подобия по сжимаемости

(7.15)

и число Пуассона – критерий подобия по теплоёмкостям

.

(7.16)

Анализируя шестое равенство (7.10), получаем

.

(7.17)

Возводя в квадрат равенство (7.13), найдём

.

(7.18)

Перемножив почленно равенства (7.17) и (7.18), запишем

.

(7.19)

Соотношение (7.19) даёт связь между угловой скоростью и угловым ускорением при вращении с ускорением. Чтобы выяснить физический смысл равенства (7.19), перепишем его в таком виде:

.

(7.20)

Выражение (7.20) показывает, что в подобных явлениях, осуществляющих вращение с ускорением, отношение касательного ускорения к нормальному ускорению в сходственных точках должно быть одинаковым.

Из первого равенства (7.10) вытекает

.

Умножим почленно это выражение на равенство

,

тогда

.

(7.21)

Таким образом, для того, чтобы два рассматриваемых явления были физически подобными, необходимо выполнение равенств (7.12) – (7.20). При этом коэффициенты момента, задаваемые равенством (7.21), будут одинаковы.

В заключение отметим, что в теории размерности и подобия устанавливаются условия, которые должны соблюдаться в опытах с моделями, и выделяются характерные и удобные параметры, определяющие основные эффекты и режимы процессов. Вместе с тем сочетание соображений теории размерности и подобия с общим качественным анализом механизма физических явлений в некоторых случаях является плодотворным теоретическим методом исследования.