Теорема Котельникова

Лабораторная работа № 2

Исследование системы связи

С амплитудно-импульсной модуляцией (АИМ)

Цель работы: 1) изучение принципов построения системы с временным разделением каналов, использующих амплитудно-импульсную модуляцию (АИМ); 2) анализ процесса формирования и восстановления сигнала с АИМ; 3) изучение принципов формирования группового сигнала и разделения каналов в системе связи с АИМ.

Продолжительность работы: 4 часа.

Оборудование: лабораторная установка «Изучение принципов временного разделения каналов», цифровой запоминающий осциллограф DSO 1002A Agilent Technologies, соединительные кабели и провода.

Теоретические сведения

Виды сигналов

Аналоговые сигналы описываются непрерывными функциями времени, поэтому также называются непрерывными. Их мгновенные значения изменяются во времени плавно, без резких скачков. К реальным аналоговым сигналам можно отнести, например, электрические сигналы при передаче речи или музыки.

Аналоговым сигналам противопоставляют цифровые и дискретные сигналы. Для передачи аналоговых сообщений по цифровым каналам производится аналого-цифровое преобразование. Первым его этапом является дискретизация аналогового сообщения по времени и представление его в виде последовательности выборок или отсчетов. Амплитуда выборки (короткого импульса) равна значению аналогового сигнала в момент взятия выборки сигнала. Второй этап – представление амплитуды выборки в цифровой форме. Этот процесс называется квантованием выборки по амплитуде.

Теорема Котельникова

Дискретизация аналоговых сигналов базируется на теореме Котельникова (в англоязычной литературе – теорема Найквиста-Шеннона), которая гласит, что сигнал со спектром от нуля до некоторой граничной частоты полностью описывается своими мгновенными значениями (выборками), взятыми через интервал времени . Это означает, что можно не передавать весь непрерывный сигнал, в достаточно передать только его значения в точках взятия отсчетов.

Поясним смысл теоремы Котельникова. Пусть имеется сигнал с ограниченным спектром и верхней граничной частотой . Если интервал дискретизации , то согласно теореме по значениям , , и т.д. можно определить точное значение сигнала для любого заданного момента времени , находящегося между моментами отсчета, а сигнал с ограниченным спектром и верхней частотой можно представить рядом

, (1)

где , – отсчеты мгновенных значений сигнала ; ; – частота дискретизации по времени.

Ряд (1) имеет бесконечное число слагаемых, так что для вычисления значения сигнала в момент времени необходимо знать значения всех отсчетов как до, так и после указанного момента . Точное равенство в (1) достигается только в случае, когда учитываются все слагаемые; если ограничиться конечным числом слагаемых в правой части (1), то их сумма даст лишь приближенное значение сигнала .

Представление сигнала рядом (1) иллюстрирует рис. 1, на котором изображены временные диаграммы сигнала и трех слагаемых ряда (1).

Рис.1 – Представление сигнала с ограниченным спектром рядом Котельникова

Таким образом, теорема Котельникова указывает условия, при которых непрерывный сигнал может быть точно восстановлен по соответствующему ему сигналу с дискретным временем.

Реальные непрерывные сигналы, как правило, имеют неограниченные спектры, хотя и довольно быстро стремящиеся к нулю с ростом частоты. Такие сигналы могут быть восстановлены по своим дискретным выборкам лишь приближенно. Однако выбрав шаг дискретизации достаточно малым, можно обеспечить пренебрежимо малое значение ошибки восстановления непрерывного сигнала по его переданным отсчетам в дискретные моменты времени. Например, при передаче телефонного сигнала, спектр которого неограничен, обычно принимают, что условная верхняя граничная частота = 3,4 кГц. В этом случае частота дискретизации должна удовлетворять неравенству 6,8 кГц. Качество передачи речи при этом оказывается вполне приемлемым. Увеличение частоты дискретизации повышает точность восстановления телефонного сигнала незначительно.