Замечание 1. Известно, что n - разрядными равновесными кодами веса q называют двоичные n - разрядные комбинации, содержащие ровно q единиц и
n - q нулей. Полным равновесным кодом длины n веса q будем называть набор всех кодов, отвечающих данным условиям и обозначать R(n,q).
Замечание 2. P(a,b) - обозначают количество перестановок из a объектов 1-го вида и b объектов второго, это число равно:
P (a,b)= = С =С , (3)
Для R(n,q) число комбинаций равно P(n-q,q).
Рассмотрим поставленную задачу в случае, когда n - нечетное число, а порог
h = (n+1)/2.
Теорема 1. Если n - нечетное число и порог h = (n+1)/2, тогда количество фрагментов ключа k равно числу n разрядных двоичных кодов веса h, а именно
k = P( )= , (4)
а правило распределения ключей между сотрудниками соответствует столбцам полного равновесного кода R(n,q).
Доказательство необходимости и достаточности приведено ниже.
Пример 1. Пусть n = 5 и h = 3. Построим таблицу равновесных 5 -и разрядных кодов веса 3, т.е. R (5,3)
Таблица 1
1 2 3 4 5
----------------------
1) 1 1 1 0 0
2) 1 1 0 1 0
|
|
3) 1 1 0 0 1
4) 1 0 1 1 0
5) 1 0 1 0 1
6) 1 0 0 1 1
7) 0 1 1 1 0
8) 0 1 1 0 1
9) 0 1 0 1 1
10) 0 0 1 1 1
В таблице цифрами 1,2,3,4,5 обозначены члены приемной команды, а 1),2),3),... обозначены номера фрагментов. Возьмем для примера 3- го члена команды. Он имеет фрагменты с номерами 1),4),5),7),8),10). Любая тройка членов приемной команды имеет полный набор фрагментов и может составить полный секретный ключ S. При этом никакие пары членов приемной команды не имеют полного набора. Количество фрагментов в данном примере равно 10. Единицы в вертикальном коде соответствуют номерам фрагментов, которые имеет данный член команды.