Дифференциальные уравнения

Для нахождения аналитических решений дифференциальных уравнений в Maple применяется команда dsolve(eq,var,options ), где eq – дифференциальное уравнение, var – неизвестные функции, options – параметры. Параметры могут указывать метод решения задачи, например, по умолчанию ищется аналитическое решение: type=exact. При составлении дифференциальных уравнений для обозначения производной применяется команда diff, например, дифференциальное уравнение y'' + y = x записывается в виде diff(y(x),x$2)+y(x)=x.

Общее решение дифференциального уравнения зависит от произвольных постоянных, число которых равно порядку дифференциального уравнения. В Maple такие постоянные, как правило, обозначаются как _ С1, _ С2, и т.д.

Команда dsolve выдает решение дифференциального уравнения в невычисляемом формате. Для того, чтобы с решением можно было бы работать далее (например, построить график решения), следует отделить правую часть полученного решения командойrhs(%).

Если, помимо дифференциального уравнения, задать начальные или краевые условия для неизвестной функции, команда dsolve может найти решение задачи Коши или краевой задачи Для обозначения производных в начальных или краевых условиях используется дифференциальный оператор , например, условие y''(0)=2 следует записать в виде или условие y '(1)=0: . Напомним, что производная n -го порядка записывается в виде .

Команда dsolve может найти решение системы дифференциальных уравнений (или задачи Коши), если в ней указать: dsolve({sys},{x(t),y(t),…}), где sys - система дифференциальных уравнений, x(t),y(t),… - набор неизвестных функций.

Для численного решения задачи Коши, построения графиков решения и фазовых портретов в Maple имеется специальный пакет графического представления решений дифференциальных уравнений Detools.

Команда DEplot из пакета DEtools строит численными методами графики решения или фазовые портреты. Эта команда сама производит численное решение дифференциального уравнения. Формат этой команды: DEplot: DEplot(de, vars, range, x=х1..х2, y=у1..у2, cond, ptions), где de - дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений; vars– список неизвестных функций; range – диапазон измерения независимой переменной; cond – начальные условия; x=х1..х2 и y=у1..у2– диапазоны изменения функций; options – дополнительные параметры.

Наиболее часто используемые параметры: linecolor=цвет линии; scene=[x,y]- определяет, какие зависимости выводить на график; iterations =число итераций, необходимое для повышения точности вычислений (по умолчанию это число равно 1); stepsize=число, равное расстоянию между точками на графике, по умолчанию оно равно (x2-x1)/20, этот параметр необходим для вывода более гладкой кривой решения; obsrange=true/false - прерывать или нет вычисления, если график решения выходит за установленный для рисования интервал.

Для решения дифференциального уравнения n -ого порядка начальные условия можно задавать в более компактной форме: [x0, y0, y'0, y''0,…], где x0- точка, в которой задаются начальные условия; y0- значение искомой функции в точке x0; y'0, y''0 ,… - значения производных первой, второй и т.д. до (n-1)-ого порядка.