Цель работы
Изучить основные особенности и методы построения линейного приближения экспериментальных данных.
Задание
Методом наименьших квадратов построить линейную эмпирическую зависимость по опытным данным. Выполнить проверку адекватности математической модели опытным данным с помощью статистических критериев. Оценить погрешность эмпирической зависимости совместными доверительными F-интервалами.
Краткая теория
Метод наименьших квадратов
Одновременные измерения двух или более разнородных физических величин с целью нахождения зависимости между ними называются совместными измерениями [2]. Обычно выполняется измерений, при которых в заданных или точно измеренных значениях аргумента
определены значения функции . Задача состоит в том, чтобы по парам (, ) построить зависимость (эмпирическую), которая была бы несмещенной и эффективной оценкой истинной зависимости, общий вид которой считают известным. Например, известно, что истинная зависимость есть прямая линия, представленная в виде
|
|
. (6.1)
Параметры , неизвестны, их следует оценить по опытным данным. Будем считать ошибки измерений случайными с нулевым математическим ожиданием и дисперсией при любом , а также некоррелированными для разных . При этих условиях найти несмещенные и эффективные оценки , параметров , (а следовательно и зависимости (6.1) в целом) можно с помощью метода наименьших квадратов (МНК).
Будем определять оценку функции в виде
, (6.2)
а оценки , искать таким способом, чтобы сумма квадратов отклонений от по всем узлам была минимальной (этот подход называют также принципом Лежандра):
. (6.3)
Это эквивалентно условию , что приводит к уравнениям вида:
(6.4)
Учитывая, что , – некоторые числа, при этом , получаем
(6.5)
Отметим, что если бы мы записали выражение (6.1) в обычном виде , мы вынуждены были бы решать систему уравнений, выражая параметры один через другой и проводя более сложные вычисления. Использование линейной зависимости в виде (6.1) позволило упростить вычисления (что очень важно для более сложных зависимостей) и получить статистически независимые оценки и .
Учитывая это свойство, можно записать:
Переходя к оценкам, получаем:
(6.6)
При любом законе распределения (если удовлетворяются указанные выше условия) несмещенной оценкой (а при нормальном законе распределения и эффективной) является остаточная дисперсия
, (6.7)
где – число коэффициентов регрессии (для прямой линии =2).
Окончательно получаем
, (6.8)
то есть оценка СКО является функцией от . Значение
минимально при и увеличивается к началу и к концу интервала значений аргумента.
|
|