выполняем его в соответствии с изложенной выше методикой.
1. В данной задаче изучается равновесие системы, состоящей из жесткого угольника и стержня.
2. Выбираем систему координат ХАУ (см. рис. 21).
3. Активными нагрузками на данную систему являются: распределенная нагрузка интенсивностью q, , и момент М.
Рис.21
Изобразим на чертеже предполагаемые реакции связей. Так как жесткая заделка (в сечении А) препятствует перемещению этого сечения стержня вдоль направлений Х и У, а также повороту стержня вокруг точки А, то в данном сечении в результате действия заделки на стержень возникают реакции , , . Шарнирная опора в точке В препятствует перемещению данной точки стержня вдоль направлений Х и У. Следовательно, в точке В возникают реакции , и . В точке С опоры стержня на угольник возникают реакция действия угольника на стержень и реакция действия стержня на угольник. Эти реакции направлены перпендикулярно плоскости угольника, причем RC = R¢С (согласно закону о равенстве действия и противодействия).
1. Задачу решаем способом расчленения. Рассмотрим сначала равновесие стержня ВС (рис. 21, б). На стержень действуют реакции связей , , , сила и момент . Для полученной плоской системы сил можно составить три уравнения равновесия, при этом сумму моментов внешних сил и реакций связей удобнее считать относительно точки В:
; ; (1)
; ; (2)
; . (3)
Из уравнения (3) получим: Rc =132,38 кН.
Из уравнения (1) получим: ХВ = -12,99 кН.
Из уравнения (2) получим: УВ = -139,88 кН.
Реакция шарнира в точке В:
.
Теперь рассмотрим равновесие угольника СА (рис. 21, в). На угольник действуют: реакции связей , сила и распределенная нагрузка q. Заметим, что R/C = RC =132,38 кН. Для данной плоской системы сил можно составить три уравнения равновесия, при этом сумму моментов сил будем считать относительно точки С:
; ; (4)
; ; (5)
; . (6)
Из уравнения (4) получим: ХА = 17,75 кН.
Из уравнения (5) получим: УА= -143,13 кН.
.
Из уравнения (6) получим: МА= -91,53 кНм.
Задача решена.
А теперь для наглядного доказательства того, какое значение имеет правильный выбор точки, относительно которой составляется уравнение моментов, найдем сумму моментов всех сил относительно точки А (рис. 21, в):
. (7)
Из этого уравнения легко определить МА:
МА = -91,53 кНм.
Конечно, уравнение (6) дало то же значение МА, что и уравнение (7), но уравнение (7) короче и в него не входят неизвестные реакции ХА и УА, следовательно, им пользоваться удобнее.
Ответ: RA =144,22 кН,, MA = -91,53 кНм, RB =140,48 кН, RC =R¢C =132,38 кН.
Пример 10. На угольник АВС (), конец А которого жестко заделан, в точке С опирается стержень DE (рис. 22, а). Стержень имеет в точке D неподвижную шарнирную опору, и к нему приложена сила , а к угольнику - равномерно распределенная на участке KB нагрузка интенсивности q и пара с моментом М.
Рис. 22
Д а н о: F =10 кН, М =5 кНм, q= 20 кН/м, а =0,2 м.
О п р е д е л и т ь: реакции в точках А, С, D, вызванные заданными нагрузками.
Указания. Задача - на равновесие системы тел, находящихся под действием плоской системы сил. При её решении можно или рассмотреть сначала равновесие всей системы в целом, а затем - равновесие одного из тел системы, изобразив его отдельно, или же сразу расчленить систему и рассмотреть равновесие каждого из тел в отдельности, учитывая при этом закон о равенстве действия и противодействия. В задачах, где имеется жесткая заделка, учесть, что её реакция представляется силой, модуль и направление которой неизвестны, и парой сил, момент которой тоже неизвестен.
Решение. 1. Для определения реакций расчленим систему и рассмотрим сначала равновесие стержня DE (рис. 22, б). Проведем координатные оси XY и изобразим действующие на стержень силы: силу , реакцию , направленную перпендикулярно стержню и составляющие и реакции шарнира D. Для полученной плоской системы сил составляем три уравнения равновесия:
, ; (1)
, ; (2)
, . (3)
2. Теперь рассмотрим равновесие угольника (рис. 22, в). На него действуют сила давления стержня ’, направленная противоположно реакции , равномерно распределенная нагрузка, которую заменяем силой , приложенной в середине участка KB (численно ), пара сил с моментом М и реакция жесткой заделки, складывающаяся из силы, которую представим составляющими , , и пары с моментом . Для этой плоской системы сил тоже составляем три уравнения равновесия:
, ; (4)
, ; (5)
, . (6)
При вычислении момента силы ’ разлагаем её на составляющие ’1 и ’2 и применяем теорему Вариньона. Подставив в составленные уравнения числовые значения заданных величин и решив систему уравнений (1) - (6), найдем искомые реакции. При решении учитываем, что численно N = N в силу равенства действия и противодействия.
Ответ: N= 21,7 кН; YD= -10,8 кН; ХD= 8,8 кН; ХA= -26,8 кН; yA= 24,7 кН; МA= -42,6 кНм.
Знаки указывают, что силы , A и момент М A направлены противоположно показанным на рисунках.
Пример 11. Найти реакции опор конструкции. Схема конструкции показана на рисунке 23.
Дано: Q =2 кН, G =1 кН, а =15 см, b =10 см, с =20 см, R =20 см, r =5 см, , , , .
Рис. 23
Решение: К конструкции приложены сила тяжести , силы и реакции опор шарниров и : (рис. 24)
Рис. 24
Из этих сил пять неизвестных. Для их определения можно составить пять уравнений равновесия.
Уравнения моментов сил относительно координатных осей:
;
;
; кН.
;
; кН.
;
; кН.
Уравнения проекций сил на оси координат:
;
кН
;
кН.
Ответ: =0,43 кН, =1,16 кН, =3,13 кН, =-0,59 кН, =3,6 кН