Пусть функция имеет производную в каждой точке интервала . Обозначим дугу графика функции , соответствующую интервалу
Если дуга лежит не ниже (не выше) касательно к графику функции , проведенной в любой точке , то функцию называют выпуклой вниз (выпуклой вверх) в интервале .
Точку на графике функции называют точкой перегиба функции или графика функции, если она является границей дуг графика с разными направлениями выпуклости.
Теорема 1. Если функция имеет вторую производную в интервале и в каждой точке выполняется , то является выпуклой вниз (выпуклой вверх) в интервале Х.
Теорема 2. Если точка является точкой перегиба функции , то либо , либо не существует.
Теорема 3. Если слева и справа от точки вторая производная существует и имеет родные знаки, то в точке график функции имеет перегиб.
Алгоритм исследования функции
Шаг 1. Найти область определения функции .
Шаг 2. Проверить наличие у исследуемой функции дополнительных свойств (четность, нечетность, периодичность).
|
|
Шаг 3. Найти точки пересечения графика с осями координат
Шаг 4. Найти и интервалы монотонности и экстремумы функции.
Шаг 5. Найти и интервалы выпуклости и точки перегиба функции….
Шаг 6. Построить эскиз графика .