В качестве исходных данных для расчетов, берутся данные Δq или T.
Для расчета первой горизонтальной производной по дискретным значениям наблюденного поля пользуются одной из формул (по выбору): (1), (3), (7).
При этом вторые производные можно рассчитать либо по специальным формулам (2), (4), (5), (8), либо по формулам первой производной, но уже по графику рассчитанной первой производной, т.е. либо
U —> Uxx, либо U -> Ux —> Uxx
При расчетах Ux и Uxx важно правильно оценить размерности и единицы измерения рассчитываемых величин.
Физический смысл – скорость возрастания или убывания функции
Геометрический смысл
Область применения – Для интерпретации гравимагнитных аномалий
Сущность и необходимость - для выделения локальных аномалий
6. Аналитическое продолжение исходного поля. Сущность и необходимость аналитического продолжения.
Аналитические продолжения - процедуры по нахождению значений поля в любой точке пространства вне участка плоскости (линии) наблюдения. Как правило, это делается по дискретным значениям наблюденного поля. В зависимости от целевой направленности трансформации проблема аналитического продолжения распадается на несколько проблем:
|
|
аналитическое продолжение в верхнюю полуплоскость или аналитическое продолжение в верхнее полупространство: Рассмотрим один из самых доступных. Если гармоническая функция задана на линии (профиля наблюдения), то задача ее определения во внешней области решается интегралом Пуассона. Для любой точки верхней полуплоскости Р (x1-h)
где h - высота пересчета, х - абсцисса точки, в которой рассчитывают поле, t - переменная по участку сканирования. В этом случае удобно центр участка сканирования совмещать с началом координат (x=0), тогда:
Отсюда следует, что значение поля в некоторой точке верхней полуплоскости (на высоте h) является интегральным средним наблюденного поля в пределах угла видимости φ является исходной для построения различных палеток (Андреева, Логачева). Для построения палетки из точки P(01i-h), для которой определяют аналитически продолженное значение поля U(01-h), проводят пучок лучей (в сторону профиля наблюдения) через равные углы видимости:
Расчетное значение поля на высоте h в точке P(01i-h) будет равно
K – постоянный коэффициент, зависящий от способа разбиения лучами.
Точность расчетов будет тем больше, чем меньше Δφ, и чем длиннее профиль и интервал палетки по оси x.
аналитическое продолжение в нижнюю полуплоскость или аналитическое продолжение в нижнее полупространство: Из всех рассматриваемых видов трансформаций аналитическое продолжение в нижнюю полуплоскость (нижнее полупространство) является наиболее важным. Широко известно высказывание на этот счет американского геофизика СИ. Пирсона о том, что пересчеты наблюденных полей на более низкие горизонты можно уподобить фокусирующей линзе, приближающей изучаемый объект к исследователю. Задача о продолжении потенциальных функций в сторону возмущающих масс относится к некорректно поставленным. Это означает, что даже при малых погрешностях в исходных данных расчетные значения поля на любых уровнях ниже поверхности наблюдения могут значительно отличаться от истинных значений в этих точках. Особенно велики погрешности расчетных значений вблизи возмущающего объекта (особых точек).
|
|
Способов пересчета вниз много. Наиболее простые из них метод сеток, метод Рейнбоу, метод, основанный на разложении исходной функции в ряд Тейлора, и др. В настоящее время чаще других применяются палетки В.Н. Страхова, Г.И. Каратаева, формулы А.К. Маловичко, С.В. Шалаева, К.Е. Веселова и М.У. Сагитова и др. Наиболее часто при аналитическом продолжении прибегают к непосредственному пересчету, основанному на решении интеграла Пуассона:
Наиболее удобные рабочие формулы, выведенные Шалаевым, Каратаевым и др.
С.В. Шалаев
Г.А. Каратаев
Так же для расчетов приводятся сопутствующие абсциссы узлов и коэффициентов!!!!!
Область применения – Для интерпретации гравимагнитных аномалий
Сущность и необходимость - для выделения локальных аномалий
7. Преобразование Фурье. Спектры и их свойства
Под преобразованием Фурье понимается разложение сигнала по периодическим функциям синусов и косинусов. Спектр – это функция, описывающая распределение амплитуд и фаз по различным частотным составляющим (гармоникам) сигнала, начиная с низкочастотных и кончая высокочастотными составляющими. Суммирование частотных составляющих с учетом их амплитуд и фаз приводит к восстановлению формы сигнала.
Практическое применение анализа Фурье при обработке геофизических данных связано с их представлением в виде сигналов, заданных в дискретных точках наблюдений, т.е.
S (Х= r∆)= Sr или S(t= r∆t)= Sr.
Построение спектров дискретно заданного сигнала основано на теореме о том,
что любую непрерывную периодическую функцию, удовлетворяющую условиям
Дирихле (функция ограничена и имеет конечное число разрывов, т.е. любые
геофизические данные удовлетворяют этим условиям) можно представить в виде
конечного ряда Фурье:
содержащего n-констант Am и Bm, называемых коэффициентами Фурье и
определяемых таким образом, чтобы значения непрерывного S(t) и дискретного Sr
сигналов совпадали бы в точках t=r∆, т.е. S(r∆)=Sr.
Выражения для коэффициентов Фурье:
По коэффициентам Фурье рассчитываются спектры дискретно заданного сигнала:
Амплитудный спектр описывает распределение амплитуд по различным частотам. Фазовый спектр показывает отклонение фазы определенной частоты относительно начала отсчета.
По амплитудному и фазовому спектрам можно получить выражение для комплексного спектра:
-комплексный спектр Sm представляет комплексное число:
:
Известно, что для комплексного числа имеется комплексно-сопряженное, определяющее
-комплексно-сопряженный спектр Sm∗:
Комплексно-сопряженный спектр представляет зеркальное отображение комплексного спектра в область отрицательных гармоник. Кроме перечисленных видов спектров часто используется энергетический спектр;
-энергетический спектр есть произведение комплексного спектра на комплексно-сопряженный или квадрат амплитудного спектра, т.е. Sm⋅Sm∗= Rm2.
Вычисление спектров представляет прямое преобразование Фурье. Вычисление значений сигнала по его спектрам представляет обратное преобразование Фурье
|
|
8. Оценка частотного состава поля (частотные характеристики поля).
Частотной характеристикой трансформации (преобразования) принято называть отношение спектра трансформационной функции к спектру исходной (нетрансформированной):
Все частотные трансформации используют частотные характеристики смещения.
Для того чтобы получить частотные характеристику дискретной трансформации – нужно проделать трансформации с частотными характеристиками смещения.
Пример: