Показатели изменения уровней ряда динамики

Большинство статистических характеристик ряда динамики основано на абсолютном или относительном сравнении его уровней. Сравниваемый уровень принято называть текущим, а уровень, с которым производится сравнение, - базисным.

Показатели роста и прироста предназначены для характеристики изменения уровней ряда (y_t). Показатели роста представляют собой отношение двух уровней ряда, а прироста - их разность. Если эти показатели имеют вид относительных величин, их называют коэффициентами. Если они выражены в процентах - темпами.

Они могут быть цепными и базисными. У цепных ведется сравнение текущего уровня с предыдущим, а у базисных - с начальным, принятым за базу.

В качестве базисного выбирается либо начальный уровень ряда, либо уровень, с которого начинается какой-то новый этап развития явления.

Пример 1. Рассчитать показатели роста и прироста для анализа динамики числа кредитных организаций

Таблица. Кредитные организации (на начало года)

	Число	Абсолютный прирост	Темпы роста	Темпы прироста, %		Пункты
Год	кредитных организаций	D y ц. = = yi – yi-1	D yб = =yi – y1	Tр.ц = =(yi/yi-1)×100	Tр.б. = =(yi/y1)×100	Тпр.ц = =Тр.ц. – 100%	Тпр.б. = =Тр.б. – 100%	А%	роста, %
		-	-	-	-
		-123	-123	94,21	94,21	-5,79	-5,79	21,26	-5,79
		-175	-298	91,26	85,98	-8,77	-14,02	20,03	-8,23
		-160	-458	91,25	78,46	-8,75	-21,54	18,28	-7,53
		-150	-608	91,05	71,40	-8,99	-28,60	16,68	-7,06
		-109	-717	92,82	66,27	-7,18	-33,73	15,18	-5,13
		-64	-781	95,46	63,26	-4,54	-36,74	14,09	-3,01
		-49	-830	96,36	60,96	-3,64	-39,04	13,45	-2,30
		-68	-898	94,75	57,76	-5,25	-42,24	12,96	-3,20
		Σ= -898		П = 0,5776					-42,24

2001 – базисный год.

На дом рассчитать динамику уставного капитала кредитных организаций, провести анализ.

Абсолютное изменение уровней ряда измеряется показателем абсолютного прироста.

Цепные показатели прироста исчисляются так:

D_2ц = y₂ - y₁ D_3ц = y₃ - y₂ D _4ц = y₄ - y₃ ... D _iц = y_i - y_i-1

Базисные показатели прироста:

D_2б = y₂ - y₁ D_3б = y₃ - y₁ D_4б = y₄ - y₁ ... D_iб = y_i - y₁

Абсолютный прирост характеризует увеличение или уменьшение уровней ряда за определенный промежуток времени. Абсолютные приросты с переменной базой (цепные) называют скоростью роста или первыми разностями.

Цепные и базисные абсолютные приросты по данным примера 1 показывают сокращение (прирост) кредитных организаций и абсолютные изменения по сравнению с 2001 годом.

Цепные и базисные абсолютные приросты связаны между собой: сумма последовательных цепных абсолютных приростов равна базисному, то есть общему приросту за весь промежуток времени.

Для характеристики интенсивности, то есть относительного изменения уровней ряда динамики исчисляют коэффициенты или темпы роста (снижения). Цепные коэффициенты роста исчисляются следующим образом:

К_2/1ц = К_3/2ц = К_4/3ц = ... К_i/i-1ц =

Цепные темпы роста будут иметь следующий вид:

Т_2/1ц=(K_2/1ц)100%, T_3/2ц= (K_3/2ц)100%, ….

Базисные же коэффициенты будут такими:

К_2/1б = К_3/1б = К_4/1б = ... К_i/1б =

Базисные темпы роста:

T_2/1б=(K_2/1б)100%, T_3/2б=(K_3/2б)100% …

Они показывают во сколько раз сравниваемый уровень больше уровня, с которым производится сравнение (если коэффициент больше 1) или какую часть уровня, с которым производится сравнение, составляет сравниваемый уровень (если он меньше единицы). (см. Пример 1)

Между цепными и базисными коэффициентами роста существует взаимосвязь (если базисные коэффициенты исчислены по отношению к начальному уровню ряда динамики): произведение последовательных цепных коэффициентов роста равно базисному коэффициенту роста за весь период, а частное от деления последующего базисного коэффициента роста на предыдущий уровень равно соответствующему цепному коэффициенту роста.

Относительную оценку скорости изменения уровня ряда в единицу времени дают показатели коэффициентов (темпов) прироста. Темп прироста показывает на сколько процентов сравниваемый уровень больше или меньше уровня, принятого за базу сравнения. Он представляет собой отношение абсолютного прироста к предыдущему или начальному (базисному) уровню. Цепной темп прироста:

Т _пр.ц.=(D y _ц/ y _i-1)100%

T _пр.б.=(D y _б/ y ₁)100%

Темп прироста можно получить и из темпа роста, если из него вычесть 100%. Коэффициент прироста получается вычитанием 1 из коэффициента роста.

При анализе динамики развития следует так же знать какие абсолютные значения скрываются за темпами роста и прироста. Сравнение абсолютного прироста и темпа прироста за одни и те же периоды времени зачастую показывает, что при снижении темпов прироста абсолютный прирост не всегда уменьшается, в отдельных случаях он может возрастать. Поэтому, чтобы правильно оценить значение полученного темпа прироста, его рассматривают в сопоставлении с показателем абсолютного прироста. Результат выражают показателем, который называют абсолютным значением (содержанием) одного процента прироста и рассчитывают как отношение абсолютного прироста к темпу прироста за тот же период времени, %:

Абсолютное значение одного процента прироста показывает какое абсолютное значение скрывается за относительным показателем – одним процентом прироста (см. пример 1). Определение содержания одного процента прироста служит для правильной оценки успехов, достигнутых в истекшем периоде. Иной раз прирост в процентах выглядит очень внушительно. Но если проценты являются “пустыми”, то такой прирост не является настоящим успехом. Приведем такой пример. Допустим, число филиалов компании розничной торговли за пять лет выросло с 2 до 4, а в другой компании аналогичного профиля торговли с 50 до 65. Если выразить прирост филиалов в процентах, то он составит для первой компании 100%, а для второй всего 30%. Однако это не значит, что вторая компания развивалась хуже: хотя её прирост в процентах оказался ниже, зато каждый процент прироста у нее был более весомым, чем у первого.

В тех случаях, когда сравнение производится с отдалением периода времени, принятого за базу сравнения, рассчитывают, так называемые, пункты роста, которые представляют собой разность базисных темпов роста, %, двух смежных периодов.

В отличие от темпов прироста, которые нельзя ни суммировать, ни перемножать, пункты роста можно суммировать, в результате получаем базисные темпы прироста. (см. пример 1).

Пункты можно складывать и вычитать, ибо все они имеют одинаковое наполнение, так как исчислены по отношению к одной и той же базе, принятой за 100%. Этого нельзя сказать о процентах. Их база все время меняется.

Если показатель упал на 20 пунктов, а потом опять вырос на 20 пунктов, то он вернулся на прежний уровень. Когда подобное ожидают и от процентов, забывая о том, что они имеют у разных периодов разное наполнение, то совершают “ошибку перемены базы”. Эту ошибку в частности совершает тот, кто считает, что его зарплата вернется на прежний уровень, если она после падения на 20% в одном периоде вырастет на 20% в другом. Она станет у него в действительности меньше на 4%. ибо 0.8 ´1.2 = 0.96 или 96%.

Средний темп (коэффициент) роста или прироста позволяет оценить среднюю скорость изменения уровней временного ряда. Средний коэффициент роста исчисляется с помощью средней геометрической простой или взвешенной. Взвешенная используется тогда, когда значения некоторых коэффициентов роста повторяются.

Средняя геометрическая простая имеет следующую формулу:

,

где К₁,К₂,К₃...К_n- цепные коэффициенты роста за n периодов.

Поскольку произведение цепных коэффициентов дает базисный коэффициент роста, а базисный коэффициент можно получить делением конечного уровня на начальный, постольку приведенную выше формулу можно записать еще и так:

.

Если бы начальный уровень был обозначен через y₀ , то корень надо было бы брать n-ой степени, а не степени n-1.

Средний коэффициент роста для примера 1 составит

0,9025

Следовательно, средний темп роста здесь составил 90,25%, а средний темп прироста равен –9,75%.

Средний темп роста ни в коем случае нельзя исчислять по формуле средней арифметической. Согласно правилу мажорантности средних при использовании средней арифметической всегда получается завышенный результат по сравнению со средней геометрической. При коротких рядах это завышение может быть не очень заметным, но при длинных рядах оно может оказаться очень существенным.

Средняя геометрическая взвешенная имеет такой вид:

.

Если два первых года ежегодный прирост был бы равен 20%, а последующие три года - 40%, то надо было бы воспользоваться последней формулой, которая в данном случае дала бы следующее значение среднегодового коэффициента роста

Последний расчет вполне допустимо записать еще и так:

.

В соответствии с этим средняя геометрическая может получить такой вид:

,

где К_i - цепной коэффициент роста в i-том периоде,

w_i - вес i-того периода, исчисляемый как:

.

Причем обязательно Sm_i =1.

В статистике для сравнения базисных темпов роста изучаемых рядов динамики за анализируемый период принято исчислять коэффициент опережения ,

Где - базисный темп первого ряда;

- базисный темп второго ряда.

Период удвоения явления. В ряде случаев бывает полезно знать, за какое время уровень ряда удвоится при заданных темпах роста. Например, полезно знать, за какое время удвоится банковский вклад за счет начисляемых на него процентов или за какое время может удвоиться численность населения района, области, края или страны. [1]

Расчет периода удвоения можно сделать следующим образом:

,

где х - период удвоения,

К - заданный коэффициент роста.

Менее точно, но более просто расчет периода удвоения можно сделать и так:

,

где d - cредний прирост в процентах.

Например, если население страны ежегодно увеличивается на 1%, то надо ожидать, что его численность удвоится за период длительностью:

года.

Менее точно этот же результат может быть получен и так:

лет.

Если банковский вклад приносит 5% годовых, то он удвоится за период длительностью:

,

года.

Или, если применить более простой способ, через:

лет.

К сожалению, упрощенный способ расчета периода удвоения дает удовлетворительные результаты лишь при условии, что ежегодный прирост не превышает 30%. При более высоких темпах прироста он начинает сильно занижать период удвоения.

Для сравнения базисных темпов роста двух или более рядов динамики за анализируемый период исчисляют коэффициент опережения

K_{опереж.} =T_b1/ T_b1Где

T_b1­ –базисные темпы роста 1-го ряда

T_b1 – базисные темпы роста второго ряда
Приемы преобразования временных рядов

Преобразование временных рядов включает в себя приемы, позволяющие сделать ряды более удобными для анализа. В частности, оно включает в себя такие приемы, как приведение рядов к одному основанию и смыкание рядов.

Приведение рядов к одному основанию позволяет лучше увидеть, какой ряд растет быстрее, а какой медленнее. К этому приему приходится прибегать тогда, когда сравниваемые ряды имеют разные начальные периоды, исчислены в разной валюте или имеют другие различия, затрудняющие их непосредственное сравнение.

Для приведения рядов к одному основанию выбирается один, общий для всех рядов начальный период, который берется за 100%.

Надо сказать, что выбор начального периода в какой-то мере предопределяет результаты анализа: при одной начальной базе более “быстрым” может показаться один ряд, а при другой базе - иной. Приведем пример. Имеются следующие данные о численности населения Ростовской области за ряд лет:

Численность населения Ростовской области

(тыс.чел. на начало года)

Городское	2420.4	3101.6	3097.8	3016.8	2994.5
Сельское	1410.9	1211.5	1250.0	1366.1	1407.0

Если взять за базу 1970 г., то можно будет сделать вывод о более быстром росте городского населения:

Динамика численности населения Ростовской области

в процентах к 1970 г.

Городское		128.1	127.9	124.6	123.7
Сельское		85.9	88.6	96.8	99.7

Картина получится совсем иной, если взять за базу 1988 г. Для последнего случая мы будем иметь такую таблицу:

Динамика численности населения Ростовской области

в процентах к 1988 г.

Городское		99.9	97.3	96.5
Сельское		103.2	112.8	116.1

Данный пример говорит о том, что надо очень продумано подходить к выбору начальной базы для сравниваемых рядов.

Выбор упомянутой базы - проблема не математическая, а общеэкономическая. Никакого простого правила для правильного выбора начальной базы рядов, приводимых к одному основанию, не существует. Надо только помнить, что выбор начальной базы может тем или иным способом повлиять на конечный вывод. Надо также понимать, что это обстоятельство может быть использовано недобросовестными исследователями для сознательного искажения динамики изучаемых явлений.

Смыкание временных рядов. К этому приему приходится прибегать тогда, когда надо создать один длинный, сквозной ряд из нескольких коротких рядов, отличающихся либо методологией расчета показателей, либо границами территории, либо ценами, что не позволяет их соединить вместе без всяких пересчетов. Смыкание рядов может быть осуществлено только в том случае, если ряды имеют хотя бы один общий период.

Для иллюстрации приведем следующий пример. По одному из районов области имеются данные о численности населения с 1970 г. по 1990 г. в одних границах, а с 1990 г. по 1998 г. - в других. Эти данные представлены ниже:

Численность населения района

на начало года (тыс.чел.)

В старых границах
В новых границах

Поскольку у двух рядов имеется один общий год, постольку их смыкание возможно. По данным этого общего года исчисляем коэффициент пересчета данных для старых границ в данные для новых границ:

С помощью этого коэффициента делаем пересчет численности населения:

для 1970 г. 200х1.25 = 250

для 1985 г. 230х1.25 = 287.5

Можно сделать и обратный пересчет - из новых границ в старые:

для 1995 г. 330: 1.25 = 264

для 2000 г. 340: 1.25 = 272

В результате этих пересчетов получаем такую таблицу:

Численность населения района

на начало года (тыс.чел.)

В старых границах
В новых границах		287.5

[1] Период удвоения населения земного шара до начала 20 столетия составил около 500 лет, а во второй половине этого столетия он сократился до 40-45 лет. Такое ускорение роста численности населения - источник обострения ряда социальных и экологических проблем.