Пример 14

В некоторой цепи имеется участок, изображенный на рис. 15. Потенциалы точек А, В, D равны соответственно j _А, j _В и j _D, а емкости конденсаторов С ₁, С ₂и С ₃. Найти потенциал j₀точки 0.

Для решения этой задачи нужно знать следующее правило, являющееся следствием закона сохранения заряда: если обкладки нескольких конденсаторов соединены в одной точке, то алгебраическая сумма зарядов на этих обкладках равна нулю (напоминаем, что слова «алгебраическая сумма» означают, что при сложении зарядов нужно учитывать их знак. Если знак заряда на обкладке не указан и из условия задачи нельзя сделать вывод о знаке заряда, то его можно считать положительным, как в нашем случае).

Рис. 15

Пусть заряд на обкладке конденсатора C _1, соединенной с точкой 0, равен q ₁, заряд на обкладке конденсатора С ₂, соединенной с той же точкой, равен q ₂
и заряд на соответствующей обкладке конденсатора С ₃ равен q ₃. Тогда из сказанного выше следует равенство

Согласно определению емкости конденсатора

откуда

и тогда

Отсюда, выполнив необходимые алгебраические преобразования, найдем искомый потенциал j₀ точки 0:

откуда

Пример 15.

На пластине Мподдерживается потенциал j₁, = +80 В, а на пластине N– j₂ = – 80 В (рис. 16, а). Расстояние между пластинами d = 10 см. На расстоянии d ₁= 4 см от пластины Мпомещают заземленную пластину Р (рис. 16, б). Найти изменение напряженности D E ₁ поля на участке МРи изменение напряженности поля D Е ₂ на участке PNпри этом. Построить графики зависимостей напряженностей E = Е (х) и потенциала j = j (х) от расстояния между точками поля и пластинами.

Напряженность однородного поля Е между пластинами M и N до помещения пластины Р между ними

После того, как пластину Р расположили параллельно пластине М на расстоянии d ₁ от нее, напряженность поля между пластинами М и Р , где j = 0 – потенциал заземленной пластины Р, поэтому

Изменение напряженности электрического поля на участке МР

или .

Напряженность поля на участке РN после помещения пластины Р

так как j = 0.

Тогда изменение напряженности на этом участке

или

Произведем вычисления

Знак «минус» означает, что напряженность поля на участке PN уменьшилась.

График Е = Е(r) показан на рис. 17.

График j = j (r) показан на рис. 18.

Пример 16.

Между обкладками плоского воздушного конденсатора параллельно его пластинам помещается металлическая пластинка толщиной а. Размеры пластинки совпадают с размерами обкладок, площадь которых равна S, а расстояние между ними – d. Определить емкость получившегося конденсатора.

Для определения емкости получившегося конденсатора поместим на его обкладки равные по величине разноименные заряды q и (–q), как показано на рис. 19, и емкость определим по формуле где Dj = j₂ – j₁ – разность
потенциалов между обкладками. Рис. 19

Заряды на обкладках конденсатора будут индуцировать на сторонах незаряженной металлической пластинки заряды Q и Q', противоположные по знаку и равные по величине.

Пусть пластинка помещена на произвольном расстоянии х от одной из обкладок, тогда расстояние до другой обкладки будет равно [ d –(a + x)].

Напряженность электрического поля в воздушном зазоре шириной х будет равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых зарядами q и ( – q), и полей, создаваемых индуцированными зарядами Q и Q':

Так как Q = – Q^/, то

Векторы напряженностей и между обкладками конденсатора направлены в одну сторону. Следовательно,

Так как электрическое поле внутри конденсатора однородно, то разность потенциалов между обкладкой с зарядом q и пластиной

(1)

где j – потенциал пластины.

Аналогично, для воздушного зазора шириной d – (a + x):

или

Разность потенциалов между обкладкой с зарядом (– q) и пластиной

(2)

Складывая выражения (1) и (2), найдем разность потенциалов между обкладками конденсатора:

Следовательно, емкость получившегося конденсатора

(3)

Как видим, емкость получившегося конденсатора не зависит от места расположения внесенной пластины и поэтому для определения емкости системы пластину можно располагать на каком угодно расстоянии х. Если ее расположить непосредственно на одной из обкладок, то получим новый конденсатор с расстоянием между обкладками равном (d – a) и емкостью (3).

Рассмотрим систему, состоящую из двух последовательно соединенных конденсаторов с одинаковыми пластинами площадью S и расстояниями между обкладками х и [ d – (a + x)] соответственно. Их емкости, очевидно, равны

а емкость системы

Следовательно, можно сделать еще один вывод: если между обкладками конденсатора поместить металлическую пластину, то образовавшуюся систему можно рассматривать как два последовательно соединенных конденсатора. Это, очевидно, справедливо также для случаев, когда внутри конденсатора находится несколько пластин.

Пример 17.

Найти емкость батареи конденсаторов, представленной на рис. 20, а, между точками А и В.

Соединение конденсаторов в батарею, предложенную для расчета, называют мостом емкостей. Такое соединение никакими перестроениями упростить нельзя.

При решении задачи воспользуемся законом сохранения электрического заряда (заряд изолированного участка цепи неизменен). В рассматриваемой задаче участки цепи, заключенные в прямоугольники, нарисованные тонкими линиями (рис. 20, б), являются изолированными, Рис. 20

поэтому при любых процессах, происходящих в остальной цепи, суммарные заряды здесь остаются равными нулю.

Для определения емкости батареи конденсаторов присоединим
к точкам А и В источник, поддерживающий разность потенциалов Dj.

В схеме четыре участка цепи имеют разные потенциалы: j _А,j _В,j _М, j _N. Если потенциал точки А условно принять равным нулю, то потенциал точки В будет равен j _B = Dj Обозначим потенциалы точек М и N через х и у соответственно, т.е. j _M = x, j _N = y. Используя закон сохранения заряда, можно утверждать, что суммарные заряды конденсаторов С ₁, С ₂ и С ₃ на обкладках, соединенных с точкой М, равны нулю. Пусть потенциал j _М > j _N, т.е. на обкладке конденсатора С ₅, присоединенной к точке М, будет находиться положительный заряд. Тогда

(1)

Аналогично, для зарядов на обкладках конденсаторов С ₂, С ₄ и С ₅, присоединенных к точке N:

(2)

где q ₁, q ₂, q ₃, q ₄, q ₅ – заряды на соответствующих конденсаторах.

Используя связь между зарядом на обкладках конденсатора и разностью потенциалов между ними

заряды q ₁, q ₂, q ₃, q ₄, q ₅можно представить в виде

Теперь выражения (1) – (2) можно записать по-другому:

(3)

Решив систему уравнений (3) относительно x и y, получим

Легко заметить, что в случаях, если С ₁ С ₄ = С ₂ С ₃, потенциалы j _M = j _N _,т.е. заряд конденсатора емкостью С ₅ будет равен нулю. Это означает, что конденсатор С ₅ в накоплении зарядов участия не принимает и его можно
не учитывать при вычислении емкости такой схемы. В этом случае говорят, что мост емкостей сбалансирован. Емкость такой схемы (рис. 20, в)

Вернемся к нашей задаче.

Если известны потенциалы в точках M и N, то полный заряд q на батарее конденсаторов (он равен суммарному заряду на обкладках конденсаторов С ₁
и С ₂, присоединенных к точке А, или заряду на обкладках конденсаторов С ₃ и С ₄, присоединенных к точке В) может быть найден как