Эта характеристика применяется для описания многоканальных систем вида (2.1) - (2.2) при нулевых входных воздействиях, то есть для автономных систем типа:
. (2.12)
Переходная матрица - это решение матричного дифференциального уравнения
(2.13)
при нулевых входных воздействиях и единичных начальных условиях
где I =
Она обладает следующими свойствами:
для любого ),
(2.14)
Зная переходную матрицу, можно определить реакцию системы (2.6)
на произвольное входное воздействие при любых начальных условиях x( 0 ) по выражению
. (2.15)
Здесь первое слагаемое - свободная составляющая движения, второе - вынужденная. Для выходных переменных имеем
. (2.16)
Если система имеет нулевые начальные условия x (0)=0, то
, (2.17)
где . (2.18)
Матрица называется матричной импульсной перeходной функцией, потому что каждая компонента ее представляет собой импульсную переходную функцию , которая является реакцией i -го выхода на j -ое импульсное входное воздействие при нулевых остальных входных воздействиях и начальных условиях.
|
|
Для многоканальных систем может быть определена также матричная переходная характеристика в виде
. (2.19)
Для линейных систем с постоянными параметрами переходная матрица Ф(t) представляет собой матричную экспоненту
(2.20)
где .
С учетом (2.20) выражения (2.15) и (2.16) принимают вид
(2.21)
. (2.22)
Матричная импульсная перeходная функция линейной системы с постоянными коэффициентами следующая
. (2.23)
При небольших размерах или простой структуре матрицы A выражение (2.20) может быть использовано для точного представления переходной матрицы с помощью элементарных функций. В случае большой размерности матрицы A следует использовать существующие программы для вычисления матричного экспоненциала.