Эпюры касательных напряжений для некоторых сечений балок при ППИ

1. Прямоугольное сечение

Определим для балки прямоугольного сечения касательные напряжения t в произвольной точке (на расстоянии у от оси z, см.рис.4.26) заданного сечения и построим эпюру t.

Полагаем, что в заданном сечении Q >0. Используя формулу Журавского (4.10), определим напряжения t на уровне y. Для этого запишем соотношения для всех величин, входящих в формулу Журавского, через размеры прямоугольного сечения

; ; ; ; ;

.

Рис.4.26

Подставим эти соотношения в формулу (4.10), получим

; либо

Из полученных формул видно, что t по высоте сечения изменяется по закону квадратной параболы.

Строим эпюру t по трем точкам:

1) на контуре при , имеем t =0.

2) на оси при y=0: .

Учитывая, что bh=A – площадь сечения, для прямоугольного сечения получаем:

(4.11)

2. Круговое сечение

Эпюра t для балки кругового сечения при Q> 0 имеет такую же форму, но другое максимальное значение напряжений (см. рис.4.27).

Рис.4.27

3. Двутавровое сечение

Представим двутавровое сечение в виде трех прямоугольников (рис.4.28). Для стенки двутавра эпюра t строится так же, как и для прямоугольного сечения. Заметим, что для стандартного двутаврового сечения в сортаменте приводится статический момент полусечения (S_x либо _max S), подстановка которого в формулу (4.10) = S_x = _max S, наряду с подстановкой I_z = и b(y)=d (эти величины берутся также из сортамента), дает максимальное значение напряжений в стенке двутавра (_max t). В случае рассматриваемого нестандартного сечения значения I_z и следует вычислять, как для сложного сечения, состоящего из трех прямоугольников.

Определим напряжения t в точке К, лежащей на границе полки и стенки.

Рис.4.28

Заметим, что со стороны стенки b(y)=b, а со стороны полки – b(y)=d. Таким образом, напряжения на границе между стеной и полкой со стороны полки (t^п) и со стороны стенки (t^ст) будут соответственно равны

, .

Здесь: - статический момент полки относительно оси z.

Для стандартного профиля величина определяется по формуле , где: - статический момент полустенки (величины h, t, d берутся из сортамента) .

Для рассматриваемого нестандартного сечения , где: площадь полки А^п=b×t, расстояние от оси z до центра тяжести полки .

Сравнивая выражения для напряжений t^п и t^ст, получим

.

Заметим, что для стандартных профилей отношение b / d изменяется в пределах от 12 до 24, т.е. минимальные касательные напряжения, возникающие в стенках двутавровых балок, оказываются более чем на порядок выше максимальных касательных напряжений в полке. Кроме того, в точке В, лежащей на контуре полки на уровне точки К, отсутствует внешняя нагрузка, а следовательно отсутствуют и касательные напряжения (t = 0), Это указывает на неравномерность распределения t по ширине полки, что противоречит допущению, положенному в основу вывода формулы Журавского. Таким образом, формула Журавского для определения t в полке двутавра не применима. В этой связи, а также учитывая, что t^п << t^ст, касательными напряжениями в полках двутавра пренебрегают и строят для этого профиля, так называемую, действительную эпюру t (только для стенки). На рис.4.28 для случая Q >0 приведены условная и действительная эпюры для балки двутаврового сечения при плоском поперечном изгибе.

В общем случае формула Журавского применима для балок, сечение которых не имеет резких изменений по высоте.

Максимальные касательные напряжения в сечении, как правило, действуют в области оси z, однако есть исключения (сечения, вытянутые в области оси z по ширине).