Критерий устойчивости Гурвица

Это алгебраический критерий, который предполагает рассмотрение характеристического уравнения в стандартной форме (4.11):

Из его коэффициентов по следующему правилу составляется матрица

Гурвица:

на главной диагонали сверху вниз выписываются по порядку коэффициенты характеристического уравнения от a_n до a₁ включительно. В каждом столбце вниз от диагонали записывают коэффициенты при возрастающих степенях оператора p, вверх - при убывающих степенях p. Недостающие элементы в столбце дополняются нулями.

(4.13)

dim H = n ´ n. Приведем без доказательства критерий Гурвица.

Формулировка критерия. Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все n определителей, получаемых из матрицы Гурвица H были положительны.

(4.14)

Здесь

...

Условие границы устойчивости согласно критерию Гурвица имеет вид:

(4.15)

Пример 4.3

Оценить устойчивость системы 3-го порядка, дифференциальное уравнение которой имеет вид:

Запишем характеристическое уравнение

и составим матрицу Гурвица для этой системы:

Условия устойчивости системы в соответствии с критерием Гурвица следующие:

Поскольку положительность всех коэффициентов характеристического уравнения следует из необходимого условия, то условие устойчивости системы 3-го порядка принимает вид: