Нелинейных элементов

Аппроксимацией называется приближенное аналитическое представление функций, заданных в виде графика или таблицы. При аппроксимации функций необходимо стремиться к тому, чтобы аналитическое выражение описывало реальную зависимость с достаточной точностью, допускало выполнение над ним требуе­мых математических операций и по возможности было кратким и простым.

Для аппроксимации вольт-амперных характеристик нелиней­ных элементов наиболее часто применяют два метода: аппрокси­мацию степенным полиномом и кусочно-линейную аппроксимацию (аппроксимацию ломаной линией). Рассмотрим эти методы.

21.3.1. Аппроксимация степенным полиномом

Вольт-амперную характеристику или ее рабочую часть пред­ставляют конечным числом слагаемых ряда Тейлора:

где u₀ —напряжение в рабочей точке вольт-амперной характери­стики (рис. 21.4).

Число слагаемых определяется требуемой точностью расчета. Для определения коэффициентов аппроксимации α_k необходимо рабочую часть вольт-амперной характеристики разбить на k про-

межутков и определить из графика k+ 1 значения тока и напря­жения. Подставив эти значения тока и напряжения в ряд (21,1), получим k+ 1уравнения:

Решая эту систему уравнений относительно коэффициентов ап­проксимации а _н, находят эти коэффициенты, азатем подставляют их в ряд (21.1).

Обычно степенным полиномом аппроксимируют такие кривые, для которых полином может быть ограничен степенью не выше пятой.

При расчете электрических цепей с электронными лампами и транзисторами, работающими на линейных участках их вольт-амперных характеристик (рис. 21.5), эти характеристики обычно заменяют прямыми линиями, т. е. аппроксимируют полиномом первой степени:

, (21.3)

где u_g — напряжение на управляющей сетке;

u_g0 — рабочая точка на вольт-амперной характеристике.

При u_g0=0 из выражения (21.3) получим

(21.4)

Приняв , получим .

Взяв производную от уравнения (21.4) по u_g, получим

где S — крутизна вольт-амперной характеристики.

Подставив а ₀ и а ₁в формулу (21.4), по­лучим выражение для вольт-амперной ха­рактеристики

i = i₀ + Su_g. (21.5)

Если , то будем иметь

i = i₀ + S(u_g-u_g0). (21.6)

21.3.2. Кусочно-линейная аппроксимация

Эта аппроксимация состоит в том, что график действительной зависимости заменяется ломаной линией. В простейшем случае ломаная линия может состоять из двух прямых ( рис. 21.6), урав­нения которых имеют вид:

i = 0 при u U₀;

i = S(u — U₀) при u>U₀,

где S — крутизна наклонной прямой.

Аппроксимация ломаной линией особенно удобна для представ­ления вольт-амперных характеристик выпрямителей, детекторов, ограничителей и других устройств.