При изучении раздела “Теория вычетов и ее приложения” следует прежде всего усвоить понятие интеграла от функции комплексной переменной. Вычисление интеграла от функции комплексной переменной по кривой сводится к вычислению криволинейных интегралов второго рода:
. (1)
Основные свойства интеграла:
1. Линейность: .
2. Аддитивность: .
3. Изменение знака при изменении направления: .
4. Оценка интеграла по модулю: .
Здесь на кривой интегрирования, – длина этой кривой.
Если – параметрическое уравнение кривой интегрирования, а соответственно начало и конец этой кривой, то имеет место формула
(2)
Если путь интегрирования – окружность с центром в точке радиуса , то следует делать замену переменной вида . Здесь –действительная переменная интегрирования.
Пример 1. Вычислить интеграл , где дуга представляет собой
а) прямолинейный отрезок, соединяющий точку с точкой ;
б) ломаную , где , , ;
в) параболу .
Решение. Применяя формулу (1), получим
.
а) Уравнение прямой, соединяющей точки и , имеет вид , здесь . Поэтому
|
|
.
б) На отрезке , ;
на отрезке , .
Используя свойство аддитивности, получаем
.
в) Для параболы имеем .
Значит, .
Получили три различных результата. Этот пример показывает, что интеграл от непрерывной, но не аналитической функции зависит от пути интегрирования.
Ниже (§7) будет показано, что интеграл от функции , однозначной и аналитической в односвязной области , не зависит от пути интегрирования.
Задача 1. Вычислить , где , (начало интегрирования в точке ). Ответ: - .
Если однозначная функция аналитична в односвязной области , то интеграл , как функция верхнего предела является аналитической функцией в области и представляет собой одну из первообразных функций , то есть . Имеет место формула Ньютона-Лейбница:
,
где , , а – какая-либо первообразная функции .
Если функции – аналитические в односвязной области и точки , , то имеет место формула интегрирования по частям:
.
Пример 2. Вычислить интеграл , где – верхняя половина эллипса , начало пути в точке .
Решение. 1 способ. Параметрические уравнения эллипса Значит, Начальной точке интегрирования соответствует значение параметра , для конечной точки .
Следовательно,
=
=
2 способ. Подынтегральная функция – аналитическая на всей комплексной плоскости, значит, интеграл не зависит от пути интегрирования (только от начальной и конечной точки) и можно вычислить его по формуле Ньютона-Лейбница
.?
Пример 3. Вычислить интеграл , где – окружность , – целое положительное число (окружность обходится против часовой стрелки).
Решение. Положим . Тогда
.
Рассмотрим сначала случай и напомним, что функция имеет период . Тогда . Когда , то .
|
|
Значит, .
Заметим, что результат не зависит ни от радиуса , ни от точки .?
Пример 4. Оценить по модулю интеграл , где – верхняя половина окружности .
Решение. На кривой интегрирования модуль подынтегральной функции , длина этой кривой . Согласно свойству 4 имеем
.?