Метод малых отклонений

Суть метода заключается в том, что кривая статической характеристики объекта заменяется касательной прямой в определенной точке, соответствующей установившемуся режиму. В основе линеаризации нелинейных уравнений лежит предположение о том, что в исследуемом динамическом процессе переменные изменяются так, что их отклонения от установившихся значений остаются все время достаточно малыми (рис. 2.4). Таким образом, метод не является универсальным, так как может применяться только при малых отклонениях параметра от установившегося положения.

Для получения линеаризованной зависимости выражения для статической характеристики функцию раскладывают в ряд Тейлора в окрестностях установившегося режима с учетом первых членов разложения:

Вводятся обозначения:

- отклонение выходного параметра от установившегося значения;

- отклонение входного параметра от установившегося значения.

Всеми членами разложения кроме первых двух пренебрегают в следствие того, что они малы:

. (2.2)

Линеаризация исходного уравнения статической характеристики геометрически может трактоваться как замена первоначальной кривой СВ на касательную к ней прямую СD. Из графика на рис. 2.4 видно, что эта замена тем точнее, чем меньше величины отклонения .

Для общности анализа в ТАУ чаще применяется безразмерная форма представления параметров:

;

.

С учетом последних соотношений выражение (2.2) можно переписать в виде:

, где

Последнее выражение представляет собой линеаризованную зависимость статической характеристики звена в безразмерных параметрах.

В ряде случаев линеаризация характеристик может быть совершенно недопустимой, например, для релейных элементов. Такие элементы называют существенно нелинейными и изучают в теории нелинейных систем.