7.1 Решение дифференциальных уравнений первого порядка
Последовательность действий для решения дифференциального уравнения первого порядка такова:
q сформировать вектор начальных условий из одного элемента, присвоив начальное значение искомой функции переменной с индексом, например: или (в зависимости от значения переменной ORIGIN);
q определить вектор-функцию из одного элемента, которая содержит первую производную неизвестной функции:
· набрать имя функции с двумя параметрами: первый параметр – аргумент искомой функции (независимая переменная), второй – имя вектора, содержащего искомую функцию (можно использовать имя вектора начальных условий), например, D (x,Y);
· набрать оператор «:=» и выражение для первой производной (выразить из дифференциального уравнения), в котором вместо имени искомой функции подставлен первый элемент вектора-параметра, например, для уравнения вектор-функция будет определятся следующим образом: (если ORIGIN= 0, подставлять );
q присвоить некоторой переменной значение функции rkfixed, указав в скобках следующие параметры:
· первый – имя вектора начальных условий,
· второй – левая граница интервала, на котором ищется решение, в виде числовой константы,
· третий – правая граница интервала, на котором ищется решение, в виде числовой константы,
· четвертый – количество точек, в которых ищется решение,
· пятый – имя вектора-функции, описывающего первую производную, без параметров;
например: ,
(в результате получится матрица Z, в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомой функции, во втором – значения самой функции);
q вывести матрицу, содержащую решение ДУ с помощь оператора «=», например: Z =;
q построить график найденной функции (см. тему 5), указав в качестве аргумента по оси абсцисс столбец , а в качестве значения функции по оси ординат – столбец (если ORIGIN= 0, набирать соответственно и ).
Пример 7.1 Найтичисленноерешение дифференциального уравнения первого порядка на интервале от 0.2 до 5 в 1000 точках, при начальном условии y(0)=0.1.
Выполнить графическую интерпретацию результатов.
Реализация в MathCad:
7.2 Решение систем дифференциальных уравнений
Последовательность действий для решения системы дифференциальных уравнений первого порядка такова (описана для значения ORIGIN =0):
q перейти в исходной системе уравнений к однотипным обозначениям функций и выразить первые производные,
например, систему можно преобразовать в ;
q в документе MathCad сформировать вектор начальных условий, количество элементов которого равно количеству уравнений системы, присвоив его некоторой переменной (см. тему 2);
например, ;
q определить вектор-функцию, которая содержит первые производные искомых функций:
· набрать имя функции с двумя параметрами: первый параметр – аргумент искомых функций (независимая переменная), второй – имя вектора, содержащего искомые функции (можно использовать имя вектора начальных условий), например, D (t,V);
(Замечание: е сли независимая переменная явно не присутствует в системе, то в качестве ее имени можно выбрать любую переменную)
· набрать оператор «:=» и вставить шаблон вектора, количество элементов которого равно количеству уравнений системы (см. тему 2)
· набрать в качестве элементов вектора правые части системы уравнений, в которых искомые функции представлены соответствующими элементами вектора-параметра, например,
;
q присвоить некоторой переменной значение функции rkfixed, указав в скобках следующие параметры:
· первый – имя вектора начальных условий,
· второй – левая граница интервала, на котором ищется решение, в виде числовой константы,
· третий – правая граница интервала, на котором ищется решение, в виде числовой константы,
· четвертый – количество точек, в которых ищется решение,
· пятый – имя вектора-функции, описывающего первые производные, без параметров;
например: ,
(в результате получится матрица Z, в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомых функций, во втором – значения первой функции, в третьем – значения второй функции и т.д.);
q вывести матрицу, содержащую решение системы ДУ с помощь оператора «=», например: Z =;
q построить графики найденных функций (см. тему 5), указав в качестве аргумента по оси абсцисс первый столбец матрицы решений, например, , а в качестве значений функций по оси ординат – остальные столбцы матрицы через запятую, например, , и т.д.
Пример 7.2 Найтирешение системы дифференциальных уравнений
на интервале от 0 до 0.5 в 1000 точках, при следующих начальных условиях: x(0)=0.1 и y(0)=1.
Выполнить графическую интерпретацию результатов.
Реализация в MathCad: