Построение проекций конических сечений

Отметим сущность теоремы, которой будем пользоваться при построении проекций кривых конических сечений.

Теорема 1: Ортогональная проекция плоского сечения конуса вращения на плоскость, перпендикулярную к его оси, представляет собой кривую второго порядка и имеет одним из своих фокусов ортогональную проекцию на эту плоскость вершины конуса.

Пример 1: Построить проекции сечения поверхности прямого кругового конуса w с плоскостью a (рис. 48, а).

Решение: Плоскость a – фронтально-проецирующая, так как угол между секущей плоскостью и его осью больше Ðj° угла наклона образующей конической поверхности к оси. Значит, в сечении получим эллипс, большая ось которого АВ будет проецироваться на плоскость П₂ без искажения в [А₂В₂], а малая ось эллипса [СД] спроецируется на плоскость П₂ в точку С₂Д₂, расположенную в середине отрезка [А₂В₂].

Величина малой оси определяется из условия (С Д) Î a. Проводим через С₂Д₂ фронтальную проекцию параллели поверхности a – h₂ для построения ее горизонтальной проекции, из горизонтальной проекции фокуса эллипса S₁ проводим окружность радиусом [1₂ 2₂] и отмечаем точки ее пересечения C₁Д₁ с перпендикуляром, восставленым в середине [A₁ B₁] – горизонтальной проекции большой оси эллипса. Зная большой и малый диаметры эллипса, известным способом строим эллипс.

Пример 2: На рис. 48, б показаны проекции поверхности прямого кругового конуса w и фронтально-проецирующая плоскость b. Построить проекции линий сечения.

Рис. 47. Положение секущей плоскости
для получения эллипса, окружности, параболы, гиперболы

Решение: Угол наклона секущей плоскости b к оси конической поверхности равен углу наклона прямолинейной образующей к этой оси . Поэтому в сечении получится парабола, вершина которой спроецируется в точку 1₂, а горизонтальная проекция фокуса – в точку 1₁ (по теореме 1). Зная положение вершины 1₁ и фокуса S₁, проводим директрису параболы. По данным директрисе и фокусу строим параболу. Фронтальная проекция параболы проецируется в [1₂ 4₂ 5₂], совпадающий с b.

Рис. 48. Построение проекций конических сечений: а – в сечении эллипс, б – в сечении парабола, в – в сечении гипербола

Пример 3: Построить проекции сечения поверхности прямого кругового конуса w плоскостью g (рис. 48, в).

Решение: Так как Ð Q° наклона секущей плоскости g к оси конической поверхности меньше угла наклона образующей конуса, Ð j°, то плоскость g пересечет поверхность w по гиперболе. Фокусы и вершины горизонтальной проекции ее ветвей определяются непосредственно из чертежа. С помощью фокусов и вершин строим ассимптоты горизонтальной проекции гиперболы. Зная положение вершин, фокусов и ассимптот, можно построить любое число точек принадлежащих ветвям гиперболы.

Пример 4: Построить проекции сечения конической поверхности w плоскостью a (рис. 53).

Решение: В данном примере пересекающая коническую поверхность плоскость занимает общее положение. Чтобы уменьшить количество геометрических построений, осуществим проецирование поверхности конуса w и плоскости a на новую плоскость П₄. Поставим ее в такое положение, чтобы по отношению к ней секущая плоскость a оказалась проецирующей. Для этого достаточно перейти от системы , провести ось X₁ перпендикулярно a₁. Находим новую фронтальную проекцию w₄ и новый фронтальный след a₄. Дальнейшее решение осуществляется аналогично рассмотренному ранее примеру (рис. 50).

Возможен и другой вариант решения, который сводится к многократному решению задачи по определению точки встречи прямой с плоскостью. Для решения задачи проводят ряд прямолинейных образующих конической поверхности и находят точки пересечения этих прямых с плоскостью. Затем соединяют полученные точки плавной кривой.

Пример 5: Построить проекции сечения конической поверхности w плоскостью a (рис. 52).

Решение: Для построения проекций сечения конической поверхности используем общий способ. Определим характерные точки сечения А₂В₂, С₂Д₂. Для построения промежуточных точек E, M, F, N проводим вспомогательные секущие плоскости. Первой проведем плоскость b₁, параллельную П₂, проходящую через ось конической поверхности. Эта плоскость пересекает плоскость a по фронтали f(f₁ f₂), а коническую поверхность образующим S3 и S4. Точки A и B, в которых пересекается фронталь f с образующими S3 и S4, принадлежит искомой линии пересечения.

Точки А и B являются граничными точками. Их фронтальные проекции А₂ и В₂ делят фронтальную проекцию эллипса сечения на видимую и невидимую части.

Затем находим низшую С и высшую Д точки сечения, для этого проводим плоскость g, перпендикулярную к a₁ и проходящую через ось конической поверхности. Плоскость g пересекает плоскость a по прямой 1,2 (1₁2₁, 1₂2₂), а коническую поверхность w – по образующим S5 и S6. Точки С и Д, в которых пересекаются образующие S5 и S6 с прямой 1,2, – искомые. [СД] является большой осью эллипса, а его проекции [C₁Д₁] и [С₂Д₂] – проекциями этой оси. Точки О(O₁O₂), делящие [СД] пополам, определяют положение центра эллипса. Через точку О пройдет сопряженный (малый) диаметр эллипса. Для нахождения его величины через О₂ проводим горизонтальную плоскость Г₂, которая пересечет коническую поверхность по окружности. Проводим горизонтальную проекцию этой окружности и отмечаем точки Е₁ и F₁ (концы малого диаметра), в которых прямая, проведенная перпендикулярно [СД], пересекает эту окружность. На рис. 49 показано также построение промежуточных точек М и N линии пересечения. Положение проекций этих точек определено с помощью вспомогательной плоскости , проведенной параллельно П₁.

Рис. 49. Построение проекций сечения конуса с получением параболы

Рис. 50. Сечение конуса плоскостями