Закон Максвелла о распределении молекул идеального газа по скоростям

В газе, находящемся в состоянии равновесия, установится некоторое стационарное (не меняющееся со временем) распределение молекул по скоростям, которое подчиняется вполне определенному статистическому закону. Такой закон был теоретически выведен Максвеллом в 1859 г. и был опубликован в 1860 г.

При выводе этого закона Максвелл предполагал, что газ состоит из очень большого числа N тождественных молекул, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при одинаковой температуре. Предполагалось также, что внешние поля на газ не действуют.

Закон Максвелла описывается некоторой функцией f (v), называемой функцией распределения молекул по скоростям. Различают три формы записи распределения Максвелла. Мы изучим одну из них.

1.6.1. Распределение Максвелла по модулю скорости молекул

Обозначим через dN _v число молекул, скорости которых лежат в интервале от v до v+dv, тогда dN _v/ N – характеризует относительное число этих молекул. Принято вводить функцию распределения молекул по скоростям

. (24)

Максвелл показал, что эта функция имеет вид

. (25)

Функция характеризует плотность вероятности того, что скорость молекулы равна v, и поэтому эта функция удовлетворяет условию нормировки

(26)

Рис. 4.

Используя функцию распределения, можно найти относительное число молекул DN/N, скорости которых лежат в интервале от v₁ до v₂

(27)

Анализ (24) показывает, что вид функции зависит от массы молекулы m₀ и от температуры Т.

На рис.4 представлен вид функции f (v) для двух температур. Характерно, что f (v), начинаясь от нуля, достигает максимума при v_В и затем асимптотически стремится к нулю.

Относительное число молекул dN _V/ N, скорости которых лежат в интервале от v до v+dv находится как площадь dS заштрихованной полоски на рис. 4. Площади, ограниченные кривыми, согласно (26), одинаковы и равны единице.

Скорость, при которой функция распределения молекул по скоростям максимальна, называется наиболее вероятной скоростью v_B. Исследование (24) на максимум позволило найти наиболее вероятную скорость молекул

v_B= . (28)

Из формулы (28) следует, что при повышении температуры максимум f (v) сместится вправо, в сторону больших скоростей.

Кроме наиболее вероятной и средней квадратичной скорости молекул газа, которые определяются по формулам (28) и (18), используется также средняя скорость молекул <v> или средняя арифметическая скорость. Она определяется по формуле

<v>= (29)

Подставляя f (v) [cм.(24)] и интегрируя, получим

<v>= . (30)

Итак существуют три формулы для определения скорости молекул газа: (18), (28), (30). Согласно этим формулам

v_B::<v>:<v_KB>= : : = 1: 1,13: 1,22. (31)

Таким образом, средняя и средняя квадратичная скорости превышают наиболее вероятную скорость на 13 и 22 % соответственно, т.е. отличие не очень большое.

Исходя из распределения молекул по скоростям (24), можно найти распределение молекул газа по кинетическим энергиям поступательного движения молекул W_к=m ₀v ² / 2. Это распределение характеризуется функцией f(W_к), которая вводится аналогично f (v)

, 1/Дж (32)