Найти уравнения касательной плоскости и нормали в точке (), первую и вторую квадратичные формы поверхности, заданной уравнением , если = .
Решение. Находим векторы и .
(-bcosvsinu; -bsinvsinu; bcosu),
(- ( +bcosu)sinv; ( +bcosu)cosv; 0).
По условию задачи мы должны найти уравнение касательной плоскости при = , = , то есть в точке М0 (0; ; ). Учитывая, что = , = , получим:
(0; - ; ),
(- (); 0; 0).
Находим уравнение касательной плоскости в точке М0 (0; ; ):
Û Û – () + – = 0 Û + – ( + ) = 0.
Уравнение касательной: + – ( + ) = 0.
Находим уравнение нормали в точке М0 (0; ; ). Из уравнения касательной плоскости находим нормальный вектор к поверхности в точке М0: . Вектор будет направляющим вектором искомой нормали. Находим канонические уравнения нормали к поверхности:
.
Находим коэффициенты первой квадратичной формы поверхности:
E = = . =b2.
F = = 0.
G = = = .
I = b2du2 + dv2.
E G – F2 = .
.
Находим вторые частные производные:
,
,
(- ( +bcosu)сosv; -( +bcosu)sinv; 0).
Ранее мы получили формулы для вычисления коэффициентов второй квадратичной формы:
|
|
L = M = N = .
() = = = = .
L = = = .
L = .
() = = 0.
М = = 0.
(- ( +bcosu)сosv; -( +bcosu)sinv; 0).
(-bcosvsinu; -bsinvsinu; bcosu),
(- ( +bcosu)sinv; ( +bcosu)cosv; 0).
() = =
= .
N = = : = .
II = bdu2 + dv2.
Ответ: y + z – ( + ) = 0, ,
I = b2du2 + dv2, II = bdu2 + dv2.