Передаточные функции фильтров

В одной главе невозможно подробно изложить основы теории фильтров, но мы постараемся в данном разделе дать ее основные положения и выводы. Здесь и далее s означает оператор Лапласа,

причем s =jω и ω = 2πf (угловая частота).

Активные RC-фильтры принадлежат к классу линейных схем с сосредоточенными параметрами. Передаточная функция линейной цепи n-го порядка с сосредоточенными параметрами описывается следующим выражением (порядок цепи определяется степенью полинома знаменателя):

где

N(s)— полином числителя,

D(s) — полином знаменателя,

d_n... d₀ и b_m...b₀ - вещественные коэффициенты,

T(s) — передаточная функция схемы.

Заметим, что для реальных схем n> m.

Полиномы N(s) и D(s) можно разложить на множители первого и второго порядков с вещественными коэффициентами. Следовательно, нужную характеристику можно получить, включив последовательно несколько фильтров первого и второго порядков. Рассмотрим далее передаточные функции таких фильтров.

1. Характеристика ФНЧ первого порядка (рис. 6.2).

Эта характеристика описывается простым выражением:

где

К_НЧ - коэффициент передачи на постоянном токе, ω₀ - частота полюса, которая в данном случае равна частоте, на которой коэффициент передачи снижается на 3 дБ по сравнению с К_НЧ.

2. Характеристика ФВЧ первого порядка (рис. 6.3).

Эта характеристика также довольно простая:

где

К_ВЧ - коэффициент передачи на высоких частотах, ω₀ - частота полюса, равная частоте, на которой коэффициент передачи снижается на 3 дБ по сравнению с К_ВЧ.

3. Характеристика фазового фильтра (ФФ) первого порядка (рис. 6.4).

Коэффициент передачи этого фильтра имеет постоянное значение во всем частотном диапазоне, изменяется лишь вносимый фазовый сдвиг (временная задержка).

Характеристика фазового фильтра первого порядка:

где

К_Ф - модуль коэффициента передачи,

ω₀ = частота, на которой фазовый сдвиг равен 90°.

4. Характеристика ФНЧ второго порядка (рис. 6.5).

Эта характеристика имеет вид:

где

К_НЧ - коэффициент передачи на постоянном токе,

ω₀ - частота полюса,

Q_F - добротность фильтра.

При Q_F> ½ на амплитудно-частотной характеристике (АЧХ) появляется выброс на частоте:

и значение коэффициента передачи на этой частоте равно:

причем частота среза по уровню -3дБ составляет:

Для ФНЧ, характеристика которого показана на рис. 6.5, при малых Q_F(т.е. Q_F < ½ ) полюса передаточной функции вещественные, и его АЧХ оказывается плоской. Выражение для характеристики второго порядка можно разложить на два сомножителя первого порядка. Когда же Qf превышает ½, на АЧХ появляется "выпуклость". Амплитудно-частотная характеристика схем с большой добротностью имеет значительный выброс.

5. Характеристика ФВЧ второго порядка (рис. 6.6).

Эта характеристика описывается выражением:

где

К_ВЧ - коэффициент передачи на высокой частоте,

ω₀ - частота полюса,

Q_F - добротность фильтра.

Максимальный коэффициент передачи (в точке выброса)при больших значениях Q_Fравен К_ВЧ·QF.

На этом и последующих рисунках стрелки обозначают направление изменения параметра вдоль семейства кривых.

Выброс на АЧХ возникает при Q_F > ½ на частоте:

и значение коэффициента передачи при этом равно:

Частота среза по уровню —3 дБ равна:

6. Характеристика ПФ второго порядка (рис. 6.7)

Эта характеристика описывается выражением:

ее можно представить в другом виде:

где

К_РЕЗ коэффициент передачи на центральной частоте ω₀,

Q_F - добротность фильтра.

Заметим, что Q_F= ω₀/(ω₂-ω₁)

где ω₁ и ω₂ - частоты, на которых коэффициент передачи снижается на -3 дБ по сравнению с К_РЕЗ

Можно показать, что:

Ширина полосы пропускания по уровню -3дБ составляет:

ω₂-ω₁₌ ω_0/ Q_F

При малых добротностях (Q_F < ½)знаменатель передаточной функции можно разложить на два сомножителя с вещественными коэффициентами (т.е. передаточная функция может быть представлена в виде произведения двух функций первого порядка.), поэтому АЧХ и фазочастотная характеристика (ФЧХ) на рис. 6.7 выглядят достаточно пологими. При Q_F > ½ полюса передаточной функции становятся комплексными. С увеличением Q_Fполоса пропускания сужается и характеристика фильтра становится более избирательной.

7. Характеристика ППФ (РФ или фильтра-"пробки") второго порядка (рис. 6.8).

Передаточная функция описывается выражением:

где

К_ПР -коэффициент передачи на постоянном токе и на высокой частоте,

ω₀ - центральная частота полосы подавления,

Q_F— добротность фильтра.

Приведенное выше выражение можно записать по-другому:

т.е. в виде разности постоянного коэффициента передачи К_ПР и коэффициента передачи ПФ.

Частоты среза по уровню -3 дБ такие же, как у полосового фильтра:

Ширина полосы подавления по уровню -3 дБ равна

8. Характеристика ФФ второго порядка (рис. 6.9)

Характеристика фазового фильтра второго порядка описывается выражением:

Его можно переписать в следующем виде:

т.е. постоянный коэффициент минус удвоенная передаточная характеристика полосового фильтра.