Задача потребительского выбора

Рассмотрим классическую математическую модель задачи индивидуального потребительского выбора. Содержательно эту задачу можно сформулировать так: потребителю нужно приобрести (купить) на рынке необходимые ему виды товаров в таком количестве, чтобы их потребление доставило максимальное удовлетворение (пользу); при этом суммарная стоимость купленных товаров не должна превышать его дохода (бюджета).

Приведем сначала необходимые обозначения:

− набор товаров, где x_i - количества товара вида i ,

n - число видов товаров,

− вектор цен товаров, где p_i - цена единицы товара вида i;
M - доход (бюджет) потребителя.

Тогда модель задачи потребительского выбора имеет вид:

(1.3.1)

Обозначим через множество всевозможных товаров, допустимых потребителю при ценах p и доходе K:

(1.3.2)

называемое бюджетным множеством.

Граница множества называется бюджетной линией.

В случае набора из 2-х товаров бюджетным множеством является треугольник, ограниченный осями координат.

С точки зрения математики построенная модель (1.3.1) относится к классическим нелинейным задачам математического программирования. Поэтому решается методами нелинейного программирования. Найдем решение задачи(1.3.1), используя метод Лагранжа. Составим функцию Лагранжа для нашей задачи:

(1.3.3)

где -множитель Лагранжа. Из (1.3.3) следует экономический смысл множителя Лагранжа: если цены и доход меняются в одно и то же число раз , то функция полезности и решение задачи потребительского выбора не изменятся.

Необходимые условия локального экстремума:

(1.3.4)

. (1.3.5)

Из условия (1.3.4) вытекает:

(1.3.6)

Отсюда следует важный вывод о том, что в условиях оптимального потребления (то есть в условиях набора ) отношение предельной полезности к цене одинакова для всех товаров. Исходя из (1.3.6) оптимальный множитель Лагранжа интерпретируется как предельная полезность одной единицы цены или просто предельная полезность денег.

Поэтому равенство

означает, что предельная полезность одной единицы денег одинаково для каждого товара и именно при таком распределении бюджета потребитель получает максимум полезности.

Из равенства (1.3.6) следует так же вывод о том, что цены должны определяться исходя из предельной полезности товаров и денег.

Выражение (1.3.5) означает, что точка максимума задачи (1.3.1) лежит на бюджетной линии. В случае двух товаров имеем (см. рис.1):

Рис.1. Решение задачи потребительского выбора

Оптимальное решение задачи называется спросом потребителя. Точка спроса (функция спроса) есть функция цен и дохода. Точка спроса лежит на границе бюджетного множества.

1.4 Кривые "доход-потребление" и "цена-потребление"

Рассмотрим ситуацию, когда в распоряжении потребителя имеются два вида товара. Ранее, мы показали, что в точке потребительского выбора происходит касание кривой безразличия и бюджетной линии. Равновесие потребителя может измениться под воздействием трех факторов:

1. Изменение вкусов потребителя.

В этом случае при прочих равных условиях изменяется характер кривой безразличия (при этом новая может пересекать старую); в результате меняется комбинация приобретенных товаров и субъект чувствует себя удовлетворенным в большей степени.

Рис.2. Влияние вкусов потребителя на фукцию полезности

2. Изменение дохода потребителя.

При увеличении дохода при неизменных ценах товаров повышается покупательская способность субъекта, и он переходит на новую более высокую кривую безразличия, таким образом, он может покупать большее количество товаров. Т.е. бюджетная линия переместится в северо-восточном направлении координатной плоскости параллельно самой себе. При этом новая бюджетная линия будет касаться новой кривой безразличия в точке, соответствующей новому решению задачи потребительского выбора. Если соединить все полученные точки потребительского выбора, мы получаем кривую “доход-потребление”. Данная кривая показывает, каким образом будет изменяться соотношение потребления товаров с ростом дохода потребителя.

Рис.3. Кривая доход-потребление

Если оба товара являются нормальными, то рост дохода будет вести к росту потребления обоих товаров. Если рост дохода приведет к тому, что один из товаров станет некачественным, то кривая «доход – потребление» наклонится в сторону нормального товара.

На основе кривой «доход – потребление» можно построить кривую Энгеля, которая показывает объем потребления второго товара в зависимости от объема потребления первого товара х₂* = f(х₁*)

Рис.4. Кривая Энгеля.

На основе кривых «доход – потребление» и Энгеля строят кривые Торнквиста, с помощью которых показывают, как изменяются объемы потребительских расходов; при невысоких доходах основной статьей расхода является питание – чем выше доходы, тем в большей степени сокращаются расходы на питание, но увеличиваются удельные веса доходов на предметы роскоши, отдых, увлечения и сбережения.

Мировая экономика опирается на типовые кривые спроса от дохода, предложенные шведом Торнквистом.

Для изучения спроса на предметы первой необходимости он предложил дробно-линейную функцию:

Спрос возникает при любом доходе
и имеет уровень насыщения .

Спрос на предметы не первой необходимости возникает при доходе, превышающем , и имеет уровень насыщения :

;

Спрос на предметы роскоши возникает при доходе, превышающем , и является ненасыщаемым:

Рис.5. Функции Торнквиста.

3. Изменение цен на товары.

В этом случае изменяется угол наклона бюджетного ограничения, что позволяет перейти на новую кривую без- различия, так как изменяется реальная покупательская способность имеющегося дохода. То есть бюджетная линия будет поворачиваться вокруг точки . При этом новая бюджетная линия будет касаться новой кривой безразличия в точке, соответствующей новому решению задачи потребительского выбора.

Соединив все полученные точки потребительского выбора, получим кривую “цена-потребление”. Данная кривая показывает, каким образом будет изменяться соотношение потребления товаров с изменением цены первого товара. Аналогичным образом можно получить кривую цена-потребление для цены второго товара.

Рис.6. Кривая цена-потребление.