Комплексным числом называется выражение вида , где и - действительные числа, - мнимая единица, определяемая равенством или :
; (1.1)
называется действительной или вещественной частью комплексного числа ; называется его мнимой частью. В технической литературе применяется также обозначение .
Если , то число называется чисто мнимым; если же , то , т.е. получаем действительное число. Комплексные числа и называются сопряженными.
► Приведите пример комплексного числа, чисто мнимого числа, действительного числа.
► Запишите числа, сопряженные к .
Два комплексных числа и называются равными, если , , т.е. если равны их действительные и мнимые части. Комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда и . Выражение (1.1) называется алгебраической формой комплексного числа.
Арифметические действия с комплексными числами в алгебраической форме осуществляются следующим образом.
Суммой (разностью) комплексных чисел и называется число ().
Произведением комплексных чисел и называется число .
Частным от деления комплексного числа на комплексное число называется число
.
► Даны два комплексных числа и . Укажите их действительные и мнимые части. Найдите их сумму, разность, произведение и частное и запишите сопряженные к ним комплексные числа.
Отметим, что действия с комплексными числами в алгебраической форме выполняются как с многочленами с учетом того, что .
Пример 1.1. Решить уравнение и проверить правильность полученного результата.
Решение.
Проверка.
1)
2)
Следовательно, задача решена верно.
Заметим: если дискриминант квадратного уравнения отрицательный, то оно имеет комплексные корни, причем корни являются сопряженными, как и показывает предыдущий пример.
Комплексное число можно изобразить точкой с координатами и или вектором также с координатами и .
Рис. 1.1.