Кривизна границы в направлении течения влечет за собой появление перепада давления, как вдоль течения, так и в нормальном направлении к стенке. Однако если кривизна не очень велика, а пограничный слой очень тонок, то изменение давления по нормали к стенке ¶ p /¶ y обычно имеет второстепенное значение. Поэтому в большинстве случаев давление считается постоянным поперек слоя даже для искривленных границ. С другой стороны, даже очень малые перепады в направлении движения могут изменить течение во всем пограничном слое. Роль изменения давления в направлении течения ¶ p /¶ x можно выявить из уравнений Прандтля (7.8) с помощью следующих качественных рассуждении.
Запишем это уравнение для границы течения. Учитывая, что здесь при у = 0 u = 0 и v = 0, получаем
, (7.63)
так что кривизна профиля скорости в окрестности стенки определяется только перепадом давления. Пусть ¶ p /¶ x < 0 (перепад давлений направлен по течению — прямой перепад), тогда ¶2 u /¶ y 2 < 0 при у = 0 и, поскольку профиль скорости монотонный, то ¶2 u /¶ y 2 < 0 для всех у. Графически это заключение можно представить на рис. 7.10.
Рис. 7.10. Схема профиля скорости при ¶ p /¶ x < 0
Рис. 7.11. Схема профиля скорости при ¶ p /¶ x > 0
Если течение в пограничном слое имеет место в области, где ¶ p /¶ x > 0 (обратный перепад), то ¶2 u /¶ y 2 > 0 при y = 0. Однако и в этом случае около внешней границы пограничного слоя ¶2 u /¶ y < 0 при у» d. Следовательно, всегда при ¶ p /¶ x > 0, в профиле скорости будет появляться точка перегиба. Графически это иллюстрируется рис. 7.11.
Потери энергии и количества движения жидкостью, примыкающей к границе, вследствие воздействия касательных напряжений приводят к прогрессирующему замедлению потока и к утолщению пограничного слоя, как показано на рис. 7.2. Если жидкость движется в области возрастающего давления, когда ¶ x /¶ x > 0, то поток все более замедляется и в конце концов останавливается; пограничный слой отрывается от поверхности и выносит вихри внутрь потока. В точке отрыва касательное напряжение становится равным нулю, т. е.
(¶ u /¶ y) y = 0 = 0. (7.64)
Рис. 7.12. Схема пограничного слоя вблизи точки отрыва
За точкой отрыва градиент давления вызывает медленное обратное течение (рис. 7.12), которое отделено от оторвавшегося пограничного слоя линией тока, причем последняя подходит к поверхности тела под некоторым углом. Из соотношения (7.11), записанного для установившегося течения U 1(¶ U 1/¶ x) = - (1/r) (¶ p /¶ x) видно, что появление положительного градиента давления зависит от U 1(х). Следовательно, отрыва пограничного слоя надо ожидать в потоке около тела с конечной положительной кривизной, например, как круговой цилиндр, или при течении в трубе или в канале увеличивающегося поперечного сечения. Отрыв пограничного слоя имеет место при решении уравнения (7.55), когда b = - 0,1988, а также при омывании кругового цилиндра, где точка отрыва определяется координатой js = 110°.
Таким образом, предположение о том, что ниже по потоку за точкой отрыва вязкие эффекты ограничены областью, толщина которой пренебрежимо мала при Re ® ¥, уже не справедливо. Вычисления, основанные на гипотезе о потенциальном потоке за пределами y = d, справедливы только для x < xs, где xs точка отрыва пограничного слоя, в которой удовлетворяется уравнение (7.64). Положение точки зависит от значения числа Рейнольдса, однако решение уравнений пограничного слоя совместно с уравнением (7.64) позволяет определить только предельное значение xs при Re ® ¥.
Благодаря утолщению за точкой отрыва области, где существенны вязкие эффекты, и вследствие образования ниже по течению завихренного следа, общее сопротивление сильно возрастает. Только часть этого сопротивления обусловлена вязким сопротивлением, определяемым из уравнения для касательного напряжения для двумерного пограничного слоя.
Таким образом, теория пограничного слоя имеет дело с расчетом характеристик присоединенных пограничных слоев, начиная от передней кромки до точки отрыва . Методы расчета в окрестности точки отрыва все еще остаются ненадежными.
Пример 7.4. При симметричном потенциальном потоке, омывающем клин с углом при вершине bp, где b = 2 m /(m + 1), а m - показатель степени при x, когда U 1(x) = U 0× xm, отрыв пограничного слоя при всех значениях x имеет место при b = - 0,1988. Нетрудно определить, что этому значению b соответствует m £ - 0,090413, т. е. не столь уж и существенные замедления потока. В самом деле, для отношения имеем следующие значения:
x | 0,1 | 0,25 | 0,50 | 1,0 | 1,5 | 2,0 | 2,5 | 3,0 | |
1,2314 | 1,1335 | 1,0647 | 1,0 | 0,9640 | 0,9393 | 0,9205 | 0,9054 | ||
Однако изменение продольного перепада давления, который в данном случае положителен, при больших значениях может оказаться весьма значительным. В этом нетрудно убедиться, если воспользоваться уравнением (202) для установившегося течения и записать
В общем случае координату точки отрыва пограничного слоя xs можно быстро оценить из соотношения, предложенного Твейтсом
. (7.65)
Если теперь подставить в это выражение соотношение для скорости потенциального течения на клине , то в результате вычислений получим, что 0,20 = - m / (5 m +1), откуда ms = - 0,1 (точное значение равно ms = = - 0,090413).
Пример 7.5. Используя уравнение (7.65) определить координату точки отрыва пограничного слоя для замедленного потока .
Произведя вычисления, находим
откуда
и xs = 0,1231 U0/k.
Подставив теперь значение xs в выражение для скорости потенциального течения, находим, что пограничный слой отрывается, когда U1(x) = 0,8769U0 (точное решение:U1(x) = 0,880U0).
Для предотвращения явления отрыва пограничного слоя помимо уже упоминавшегося отсоса части пограничного слоя, можно использовать профилирование канала (обтекаемой поверхности).