Потери на трение изменяются по длине канала, поэтому

Сделаем допущение, что коэффициент трения l постоянен вдоль канала, а температура газа линейно зависит от теку­щей координаты x, т.е. Т = Т ₁ - - х (Т ₁ – Т ₂)/ l, тогда

и, следовательно,

или

(12.2)

Теперь можно ответить на сформулированный выше воп­рос о влиянии поля температур газа на закономерности его рас­пределения по параллельным горизонтальным каналам.

Рассмотрим сначала случай, когда по системе каналов движется горячий газ, который отдает тепло стенкам кана­ла и охлаждается. Предположим, что первоначально, как и в условиях изотермического течения, расход газа через лю­бой канал был одинаков, т. е. одинакова скорость V ₀ во всех каналах. Пусть теперь в какой-то момент времени через некоторый канал пошло больше газа. Тогда этот канал на­греется сильнее, и температура газа на выходе Т ₂ увели­чится. Нетрудно заметить, что в этом случае возрастает знаменатель выражения (12.2), что говорит об уменьше­нии V ₀. Следовательно, система горизонтальных каналов обеспечивает устойчивость равномерности газораспределе­ния охлаждающегося горячего газа. Это означает, что если каким-то образом добились равномерности распределения потоков по каналам однажды, то она сохранится и далее, несмотря ни на какие возмущения.

Изменим ситуацию, пустив по равномерно прогретым ка­налам холодный газ. В процессе движения этот газ отбирает теплоту у стенок и нагревается. Пусть опять в какой-то мо­мент времени через некоторый канал прошло больше газа. Тогда этот канал охлаждается сильнее, и Т ₂ уменьшается; уменьшается и знаменатель выражения (12.2). Но тогда V ₀ возрастает, т. е. через данный канал начинает проходить еще большее количество холодного газа.

Таким образом, равномерность газораспределения грею­щегося (холодного) газа в системе горизонтальных каналов абсолютно неустойчива. Малейшие колебания температуры или скорости газа в каком-нибудь из каналов приводят к прогрессирующей неравномерности распределения потоков газа.

Изложенное выше позволяет сделать ряд выводов. Преж­де всего следует указать на то, что к результатам анализа, выполненного с использованием уравнений изотермического течения, необходимо очень осторожно относиться. Они мо­гут оказаться и верными, как это имело место для потока охлаждающегося (горячего) газа, но могут и не иметь никакого отношения к действительности, т. е. быть совершен­но ложными. Далее, можно сделать и практические реко­мендации, сводящиеся к тому, что нагревающиеся (холод­ные) газы ни в коем случае нельзя пускать по системе го­ризонтальных параллельных каналов. В то же время для охлаждающихся сред горизонтальные каналы весьма удоб­ны. Наконец, можно вывести математическую формулиров­ку условия устойчивости распределения газа по каналам: с ростом Т ₂ скорость V ₀ горячих потоков должна уменьшать­ся, а холодных - возрастать, т. е. dV ₀²/ dT ₂ < 0 - для ох­лаждающихся газов; dV ₀²/ dT ₂ > 0 - для нагревающихся газов.

В условиях рассматриваемого примера справедливость вышеприведенных неравенств ясна сразу. Однако для на­глядности запишем производную квадрата скорости по тем­пературе

Легко видеть, что первое неравенство выполняется, а вто­рое — нет.

Отметим, что в керамических реку­ператорах методических нагрева­тельных печей продукты горения из рабочего пространства проходят именно по горизонтальным каналам. В свете изложенного выше причина такой конструкции рекуператора становится совершенно ясной.

Вертикальные каналы. Здесь геометрическое давление перемен­но по высоте канала, поэтому зако­номерности распределения потоков будут определяться не только пере­падом давления, но и геометричес­ким давлением.

Рис. 12.2. Схема вертикальных параллельных каналов

Рассмотрим систему двух вертикальных каналов (рис. 12.2). Пусть в направлении сверху вниз от сечения 1 к сече­нию 2 движется поток газа. Записав для этих сечений урав­нение Бернулли в форме (4.71), получим

откуда при V ₁ = V ₂, p ₁ – p ₂ = (r_а - r_г) gH + D p _пот. Напомним, что в уравнении (8.40) высота положения Н отсчитывается сверху вниз, т. е. геометрически Н отрицательно. Поэтому выше записанное равенство означает, что в данном случае необходимо располагать перепадом давления, который обес­печит не только преодоление сил трения и местных сопро­тивлений, но и геометрического давления, так как оно пре­пятствует движению сверху вниз.

Обратим течение газа, пустив его снизу вверх. Тогда путем аналогичных выкладок находим p ₂ – p ₁ = - (r_а - r_г) gH + D p _пот, т. е. здесь геометрическое давление способ­ствует движению.

Таким образом, в отличие от горизонтального располо­жения в системе вертикальных параллельных каналов су­щественную роль играет геометрическое давление, причем его влияние различно при нисходящем и восходящем дви­жении газа.

Проверим, как обстоит дело с устойчивостью равномер­ности распределения газа по каналам в данном случае. Пусть сверху вниз движется горячий газ и пусть в некото­рый момент времени через какой-то канал его пошло боль­ше. Тогда этот канал нагреется сильнее, плотность газа уменьшится и геометрическое давление возрастет. Но гео­метрическое давление препятствует движению, поэтому рас­ход газа в данном канале опять уменьшится до прежнего уровня. При движении горячего газа снизу вверх такого самовосстановления расхода не произошло бы, так как гео­метрическое давление здесь наоборот способствует движе­нию. В последнем случае, по-видимому, неравномерность распределения, однажды возникнув, будет прогрессивно развиваться.

Пустим теперь сверху вниз холодный (нагревающийся) газ. Очевидно, что если через какой-то канал пройдет боль­ше газа, то этот канал сильнее охладится, плотность газа увеличится и геометрическое давление упадет. Но тогда не­равномерность распределения еще более усилится, т.е. бу­дет прогрессировать. Ясно, что такого не произойдет при движении холодного газа снизу вверх, так как здесь геомет­рическое давление способствует течению и в случае его уменьшения расход газа снижается.

Их этих примеров легко уяснить сущность правила де­ления потоков С. В. Лукашевича - В. Е. Грум-Гржимайло, согласно которому потоки остывающих (горячих) газов на­до направлять сверху вниз, а потоки нагревающихся (хо­лодных) - снизу вверх.

Внимательный читатель легко заметит, что при всей правдоподобности и логичности приведенных рассуждении они не вполне удовлетворительны. В самом деле, заключе­ния о свойствах неизотермических потоков сделаны, исходя из уравнений изотермического течения. Кроме того, в этих рассуждениях предполагалось, что при изменении темпера­туры и расхода газа сопротивление канала D р _пот не изме­няется.

Попробуем установить пределы применимости правила Лукашевича - Грум-Гржимайло. Запишем, как и в случае горизонтальных каналов, уравнение Бернулли в диф­ференциалах, причем опять будем полагать, что плотность газа зависит лишь от температуры:

(12.3)

Пусть длина канала l ₀, на входе в канал параметры газа равны p = p ₁, T = = T ₁, а на выходе p = p ₂, T = T ₂. Проинте­грируем выражением (12.3) по длине канала. Интегралы ряда слагаемых уже известны из выкладок, проделанных для горизонтальных каналов

Третье слагаемое выражения (12.3) проинтегрируем в предположении линейного изменения температуры по дли­не канала

В итоге получаем

(12.4)

Теперь мы располагаем всеми соотношениями, необходи­мыми для выполнения анализа.

Охлаждающийся газ. Здесь р ₁ > р ₂ и Т ₁ > Т ₂. Разрешим уравнение (12.4) относительно V ₀²:

Мы видим, что, как и ранее, при движении сверху вниз по­мимо сопротивления канала газ преодолевает геометриче­ское давление, которое препятствует движению.

Условие устойчивости равномерности распределения по­тока газа по каналам нам уже известно - dV ₀²/ dT ₂ < 0. Вы­полнив дифференцирование, получим

или после некоторых преобразований

Следовательно, равномерность газораспределения будет устойчивой, если выполняется неравенство

(12.5)

Величина правой части уравнения (12.5) во многом опре­деляется выражением в скобках, стоящим в числителе. Можно показать, что Т ₂ – Т ₁ – Т ₂´ ´ ln(T ₂/ T ₁) < 0. Действитель­но, это выражение является производной по T ₂ от слага­емого, пропорционального среднеинтегральному значению плотности газа

Поскольку с увеличением температуры плотность газа уменьшается, то числитель выражения (12.5) всегда отри­цателен, т. е. неравенство (12.5) выполняется всегда, так как оно сводится к выражению V ₀² > - А. Иными словами, система вертикальных параллельных каналов обеспечива­ет абсолютно устойчивую равномерность распределения горячих газов, если поток газа нисходящий.

Изменим направление движения газа на обратное. Для восходящего потока горячих газов в итоге получим выра­жение, совпадающее с неравенством (12.5) с точностью до знака правой части (знак изменится на противополож­ный). Но числитель правой части выражения (12.5) отрица­тельный, поэтому для восходящего потока в правой части неравенства будет стоять положительная величина. Это означает, что до тех пор, пока квадрат скорости движения газа в канале не превысит значения, определяемого правой частью неравенства, равномерность распределения бу­дет неустойчивой; в противном случае получим устойчиво равномерное распределение потока восходящих горячих газов в системе вертикальных параллельных каналов.

Рис. 12.3. Зависимость скоростей, разделяющих области устойчивой (I) и неустойчивой (II) равномерности газораспределения в системе вертикальных параллельных каналов при подаче охлаждающихся (горячих) газов снизу, от температуры газа на входе в канал, ^о С: 1 – 1000; 2 – 1200; 3 – 1500

Сказанное иллюстрируется рис. 12.3, на оси ординат ко­торого отложена скорость V ₀, разделяющая области рав­номерного (I) и неравномерного (II) прогрева каналов на­садки доменного воздухонагревателя, а на оси абсцисс - температура дыма на выходе из насадки T ₂. В расчетах принято l ₀ = 20м, D = 60 мм, z_вых =2, температура дыма на входе Т ₁ =1000, 1200 и 1500° С. Из рисунка видно, что чем выше температура дыма на входе в насадку, тем ниже лежит граница раздела, т.е. тем при более низких скорос­тях можно обеспечить равномерное распределение грею­щих газов по насадке при подаче их снизу.

Нетрудно установить причину отклонения поведения охлаждающихся (горячих) газов от правила Лукашеви­ча - Грум-Гржимайло. При больших температурах и рас­ходах горячего газа сопротивление канала настолько вели­ко по сравнению с геометрическим давлением, что послед­нее уже не оказывает никакого влияния на характер дви­жения потока.

Нагревающийся газ. Прежде чем выяснить, как обстоит дело с потоком холодного газа, припомним, какие допуще­ния были использованы ранее.

Основное из принятых допущений состояло в том, что плотность газа и его скорость зависят лишь от температу­ры, но не от давления. Справедливо ли это допущение? По-видимому, да. Дело в том, что продукты сгорания дви­жутся под действием тяги дымовой трубы или дымососа. Абсолютное давление газа меньше атмосферного и изменя­ется незначительно. Поэтому вполне допустимо не учиты­вать зависимость r_г и V от давления.

Совсем другие условия имеют место при движении че­рез каналы нагревающейся (холодной) среды. Чтобы "про­толкнуть" холодный воздух через систему каналов, ис­пользуют компрессоры, турбовоздуходувки и другие устройст­ва. Абсолютное давление дутья, проходящего, например, через насадку доменного воздухонагревателя, достигает 3,5×10⁵ Па более. Естественно, что в этом случае гово­рить о незначительности влияния давления было бы более чем странно.

Воспользуемся поэтому уравнением газового состояния в следующей форме:

тогда

Следовательно,

,

и р ₁, р ₂ значительно больше атмосферного давления, но друг от друга отличаются сравнительно мало. Чтобы не услож­нять анализ, примем, что р ₁» р ₂ = p, где p - некоторое среднее давление в канале. Выполняя преобразования, полностью аналогичные изложенным выше, получим для случая движения холодного газа снизу вверх

(12.6)

Условие равномерного охлаждения каналов требует, чтобы через более горячий канал проходило больше нагре­вающегося газа, а через более холодный канал - меньше. Это означает, что dV ₀²/ dT ₂ > 0. Выполняя дифференцирование, после преобразований получаем неравенство

(12.7)

Можно показать, что 1 – T ₁/ T ₂ + ln(T ₁/ T ₂) < 0. Это означает, что в правой части неравенства для квадрата скорости стоит положительная величина. Следовательно, равномер­ность распределения нагревающегося газа даже при его движении снизу вверх будет устойчива лишь до определен­ных скоростей. В частности, для той же насадки, что и в случае рис. 12.3, т. е. при l ₀ = 20 м, D = 60 мм, z_вых =2 и T₁ = 100⁰ С, можно получить зависимость скорости газа от температуры на выходе из канала T ₂, разделяющую обла­сти равномерного устойчивого (I) и неравномерного (II) охлаждения каналов. Она представлена на рис. 12.4. Из рисунка видно, что с возрастанием температуры нагрева дутья допустимые скорости (обеспечивающие равномерное охлаждение насадки) уменьшаются. С ростом давления в воздухонагревателе, наоборот, допустимые скорости возрас­тают. Допустимые скорости уменьшаются для высоких на­садок с малыми каналами или каналами большого сопро­тивления.

Если теперь обратить движение воздуха, т. е. пустить его сверху вниз, то изменится лишь знак у геометрического давления. Это приведет к смене знака на плюс в нера­венстве (12.7). Но тогда получается соотношение V ₀² < - B, причем В > 0. Оно никогда не выполняется, т. е. равномер­ность распределения нисходящих холодных газов абсолют­но неустойчива.

Рис. 12.4. Скорости, разделяющие области равномерного (I) и неравномерного (II) охлаждения системы вертикальных параллельных каналов при подаче холодного воздуха снизу при давлении в канале, 10⁵ Па: 1 – 2,943; 2 – 1,962; 3 – 0,981

Таким образом, легко видеть, что и для вертикальных каналов рекомендации, сделанные на основе анализа урав­нений изотермического течения, оказались не вполне удов­летворительными. В случае с движением нагревающейся (холодной) среды это особенно важно, так как согласно анализу очень трудно добиться равномерного распределе­ния холодного воздуха по каналам, даже если поток этого воздуха восходящий.

Рассмотренные выше примеры носят иллюстративный характер, так как при выполнении анализа мы постулиро­вали линейное изменение температур по длине (высоте) канала; в принципе оно может быть произвольным. Однако полученные результаты весьма важны; они со всей убеди­тельностью показывают, что правильное описание движе­ния газов в металлургических печах может быть получено лишь при учете имеющего в них место поля температур.