Механическая система с двумя степенями свободы, состоящая из четырех абсолютно твердых тел, соединенных между собой нерастяжимыми невесомыми нитями (груз 3 подвешен к блоку 1 с неподвижной осью, а груз 4 подвешен к блоку 2 с подвижной осью), приходит в движение из состояния покоя под действием сил тяжести. Груз 3 подвешен на пружине жесткостью с. Пренебрегая потерями на трение и считая, что в начальный момент времени груз, подвешенный на пружине, находился в положении статического равновесия, составить с помощью уравнений Лагранжа дифференциальные уравнения движения механической системы и определить закон относительного движения груза, подвешенного на пружине, а также частоту, период и амплитуду относительных колебаний груза.
Дано: m1 = 4 кг, m2 = 2 кг, m3 = 10 кг, m4 = 20 кг, R1 = 40 см, r1 = 20 см, r1 = 30 см, R2 = 10 см, с = 20 кН/м.
Определить: x = f(t) - закон относительного движения груза, подвешенного на пружине, а также частоту, период и амплитуду относительных колебаний груза.
Решение.
P1
ds3
P3 C dsCdj
|
|
P2 j
Fупр2
Fупр4
ds4x
dx
P4
Рис. 4.1.
Для системы с двумя степенями свободы выберем две обобщенные координаты: q1 = x – относительное перемещение груза 4, равное деформации пружины, и q2 = j - угол поворота тела 2. Запишем уравнения Лагранжа:
; (4.1)
Определим кинетическую энергию системы:
T =T1+T2+T3+T4 (4.2)
Найдем кинетическую энергию каждого тела, учитывая, вращательное движение блока 1, плоско-параллельное движение блока 2 и поступательные движения грузов 3 и 4:
T1 = 0,5 I1w12; T2 = 0,5(m2VC2 + ICw22); T3 = 0,5 m3V32; T4 = 0,5 m4V42 (4.3)
где I1 = m1r12 – момент инерции блока 1 относительно его оси вращения, IС = 0,5 m2R22 – момент инерции блока 2, представляющего собой сплошной однородный цилиндр, относительно оси, проходящей через его центр масс.
Выразим все скорости через обобщенные скорости и . Очевидно, что
, , , . (4.4)
Для определения скорости груза 4 рассмотрим его движение как сложное. Абсолютная скорость тела 4 равна алгебраической сумме переносной скорости точки С и относительной скорости груза, равной скорости удлинения пружины:
(4.5)
Подставим все найденные выражения в формулу (4.2) и получим:
, (4.6)
где для краткости принято r = R2, m = 4(m1r12+m3r12)/R12+1,5m2 (4.7)
Изобразим на рис. 4.1 действующие на систему активные силы: силы тяжести P1, P2, P3, P4 и силы упругости Fупр4 и Fупр2, модули которых равны:
P1 = m1g; P2 = m2g; P3 = m3g; P4 = m4g;Fупр4 = Fупр2= cx (4.8)
Для определения обобщенной силы Qx сообщим системе возможное перемещение, при котором обобщенная координата x получит положительное приращение dx, а j останется неизменной, то есть dj = 0 (переместится на расстояние dx только груз 4, а остальные тела останутся в покое). Тогда элементарную работу совершат только силы P4 и Fупр4:
|
|
dAx = P4dx - Fупр4dx = (P4dx - Fупр4)dx (4.9)
Для определения обобщенной силы Qj сообщим системе возможное перемещение, при котором обобщенная координата j получит положительное приращение dj, а x останется неизменной, то есть dx = 0 (пружина при таком перемещении системы не изменяет свою длину). Тогда элементарную работу совершат только силы P2, P3 и P4:
dAx = P3ds3 – P2dsc - P4ds4 = (2P3r1R2/R1-P2R2-P4R2)dj (4.10)
При выводе уравнения (4.10) использовались уравнения (4.4), так как соотношения между перемещениями аналогичны соотношениям между соответствующими скоростями, при этом учтено, что dsc= ds4 (пружина не изменяет свою длину).
Коэффициенты перед приращениями dx и dj в уравнениях (4.9) и (4.10) и будут обобщенными силами Qx, и Qj,которые запишем с учетом (4.8):
Qx = m4g –cx; Qj = mjrg (4.11)
где для краткости принято r = R2, mj = 2m3r1/R1- m2 – m4 (4.12)
Подставляя величины (4.6) и (4.11) в уравнения (4.1),получим следующие дифференциальные уравнения движения системы:
; (4.13)
Для определения x = f(t) исключим из уравнений (4.13) и получим дифференциальное уравнение вида:
, (4.14)
где k2=c(1/m4+1/m); a =g(m+m4 +mj)/m (4.15)
Общее решение уравнения (4.14), как известно из курса высшей математики, имеет вид x = xобщ+ xчаст , где xобщ – общее решение однородного уравнения
, то есть xобщ = C1sin(kt)+ C2cos(kt), а xчаст – частное решение уравнения (4.14). Будем искать решение в виде xобщ = В = const. Подставляя значение xобщ = В в (4.14), получим В =a/k2. Таким образом общее решение уравнения (8.14) имеет вид:
x = C1sin(kt)+ C2cos(kt)+ a/k2, (4.16)
где С1 и С2 – постоянные интегрирования, для определения которых найдем еще производную по времени от x:
= C1k cos(kt) - C2k sin(kt), (4.17)
Поскольку система начинает движение из состояния покоя с недеформированной пружиной, начальные значения переменных равны нулю, то есть при t = 0 x = 0 и = 0. Подставляя эти величины в уравнения (4.16) и (4.17), найдем постоянные интегрирования: С1 =0 и С2= - a/k2.
Подставив полученные значения постоянных интегрирования в уравнение (8.16), окончательно получим искомое уравнение относительного движения груза 4:
x = a/k2(1-cos(kt)). (4.18)
Таким образом груз 4 совершает по отношению к точке C подвеса пружины гармонические колебания по закону (4.18) с амплитудой А = a/k2= 0,00712 м, ч астотой k =43,7 с-1 и периодом T=2p/k = 0,144 c.