В заключение этой главы нельзя не сказать хотя бы несколько слов о многотомном трактате И.Бурбаки «Элементы математики». Никола Бурбаки — коллективный псевдоним, за которым скрывается группа видных математиков, главным образом французских, сложившаяся в 30-х годах нашего столетия. Начало выпуску в свет «Элементов математики» было положено в 1939 г.
Объединение специалистов в различных областях математики в группу Бурбаки произошло на базе концепции математики как формализованного языка. Цель трактата — изложить с этой точки зрения все важнейшие достижения математики, представить математику как единый формализованный язык. И хотя трактат Бурбаки по разным поводам подвергается критике со стороны некоторых математиков, он, несомненно, является важной вехой развития математики по пути ее само осознания.
Популярно концепция Бурбаки изложена в статье «Архитектура математики». Не превращается ли математика в Вавилонскую башню, в скопление изолированных дисциплин — спрашивает автор в начале статьи. Имеем ли мы дело с одной математикой или с несколькими математиками? Ответ на этот вопрос дается такой. Современная аксиоматическая математика — единственный формализованный язык, выражающий абстрактные математические структуры, которые представляют собой не отдельные независимые объекты, а образуют иерархическую систему. Под структурой Бурбаки понимает некоторое число отношений между объектами, обладающих определенными свойствами. Оставляя объекты полностью неопределенными, и формулируя свойства отношений в виде аксиом, а затем, извлекая из них следствия по правилам логического вывода, мы получаем аксиоматическую теорию данной структуры. В переводе на наш язык, структура — это семантика математической модели. Из числа структур можно выделить несколько типов фундаментальных порождающих структур. К ним относятся алгебраические структуры (отражающие свойства композиции объектов), структуры порядка, топологические структуры (свойства, связанные с понятиями окрестности, предела, непрерывности). Кроме наиболее обшей структуры данного типа, т. е. структуры с наименьшим числом аксиом, в каждом типе порождающих структур мы находим структуры, полученные путем включения дополнительных аксиом. Так, в теорию групп входит теория конечных групп, теория абелевых групп, теория конечных абелевых групп. Комбинация порождающих структур дает сложные структуры, как, например, топологическая алгебра. Таким образом, возникает иерархия структур.
|
|
Как же используется аксиоматический метод в математическом творчестве? Именно здесь, пишет Бурбаки, аксиоматика больше всего сближается с экспериментальным методом. Следуя Декарту, она «разделяет трудности, чтобы лучше их разрешить». В доказательствах сложной теории она стремится разъединить главные пружины фигурирующих там рассуждений и, взяв их по отдельности, вывести из них следствия (расщепление моделей или структур, о котором мы говорили выше); затем, возвращаясь к исходной теории, она снова комбинирует предварительно выделенные структуры и изучает, как они взаимодействуют между собой.
|
|
1 Энгельс Ф. Диалектика природы. М.: Госполитиздат, 1955. С.165.
2 Бурбаки Н. Элементы математики // Очерки по истории математики. М.: Изд-во Иностр. Лит., 1963. С.15.
3 Это мнение и приведенные выше цитаты взяты из книги: Вейль Г. О философии математики. М.;Л., 1934.