Процесс возникновения на обкладках конденсатора зарядов + q и - q можно представить так, что от одной обкладки последовательно отнимаются очень малые порции заряда D q и перемещаются на другую обкладку. Работа переноса очередной порции равна
где U - напряжение на конденсаторе. Заменяя и переходя к дифференциалам, получим
Наконец, интегрируя последнее выражение, приходим к формуле для энергии заряженного конденсатора
(19.3)
Формулы (19.1) отличаются от формул (19.3) только заменой j на U.
С помощью выражения для энергии можно найти силу, с которой пластины плоского конденсатора притягивают друг друга. Для этого предположим, что расстояние между пластинами может меняться. Подставим в формулу (19.3) выражение для емкости плоского конденсатора, обозначив переменный зазор между обкладками через х (вместо d)
Теперь воспользуемся соотношением, связывающим потенциальную энергию и силу, причем будем считать заряд на обкладках постоянным (конденсатор отключен от источника напряжения):
|
|
(19.4)
(знак минус указывает на то, что сила является силой притяжения и стремится уменьшить х).
Модуль этой силы, иногда называемой «пондеромоторной силой», равен
Энергия электрического поля
Энергию конденсатора (19.3) можно выразить через величины, характеризующие электрическое поле в зазоре между обкладками. Сделаем это для плоского конденсатора. Подставим в (19.3) выражение для емкости плоского конденсатора, тогда
Но в однородном поле конденсатора ; произведение S×d представляет собой объем V, занимаемый полем. Таким образом, можно написать
(19.5)
Формула (19.3) связывает энергию конденсатора с зарядом на его обкладках, формула (19.5) - с напряженностью поля. Логично поставить вопрос: где же локализована (т. е. сосредоточена) энергия, что является носителем энергии - заряды или поле? В пределах электростатики, которая изучает постоянные во времени поля неподвижных зарядов, дать ответ на этот вопрос невозможно. Постоянные поля и обусловившие их заряды не могут существовать обособленно друг от друга. Однако меняющиеся во времени поля могут существовать независимо от возбудивших их зарядов и распространяться в пространстве в виде электромагнитных волн. Опыт показывает, что электромагнитные волны переносят энергию. В частности, энергия, за счет которой существует жизнь на Земле, доставляется от Солнца электромагнитными (световыми) волнами, энергия, заставляющая звучать радиоприемник, приносится от передающей станции электромагнитными волнами и т. д. Эти факты заставляют признать, что носителем энергии является поле.
Если поле однородно (что имеет место в плоском конденсаторе), заключенная в нем энергия распределяется в пространстве с постоянной плотностью w, равной энергии поля, деленной на заполняемый полем объем. Следовательно, согласно (19.5), плотность энергии поля плоского конденсатора равна
|
|
(19.6)
Формула (19.6) справедлива и для неоднородного поля, лишь нужно учитывать, что E = E(r). Учтя соотношение D = eeo E, ее можно записать в виде
(19.7)
или
(19.8)
В изотропном диэлектрике направления векторов Е и D совпадают. Поэтому формуле (19.7) можно придать вид
Заменив в этой формуле D его значением , получим для w следующее выражение:
(19.9)
Первое слагаемое в этом выражении совпадает с плотностью энергии поля Е в вакууме. Второе слагаемое представляет собой энергию, затрачиваемую на поляризацию диэлектрика.
Если требуется определить запас энергии электрического поля в пространстве, где закон распределения напряженности E = E(r) известен, то можно провести интегрирование по объёму:
(19.10)