Линейная функция есть функция вида
y = ax + b,
где a и b — константы. Примерами линейных функций являются
y = 2 x + 3
y = x — 99.
Строго говоря, функция вида y = ax + b должна называться афинной функцией и только функции вида y = ax должны называться линейными функциями. Однако мы не будем настаивать на этом разграничении.
Линейные функции могут быть также выражены неявно, в виде, подобном ax + by = c.
В таком случае мы часто выражаем y как функцию x, чтобы привести это к "стандартному" виду:
y = — x.
П.7 Изменения и отношения изменений
Обозначение D x читается как "изменение x ". Оно не означает D, умноженная на x. Если x изменяется от x * до x **, то изменение x есть просто
D x = x ** — x *.
Мы также можем записать
x ** = x * + x,
указывая на то, что x ** есть x * плюс изменение x.
Как правило, D x относится к малому изменению x. Иногда мы выражаем эту мысль, говоря, что D x представляет предельное изменение.
Скорость изменения есть отношение двух изменений. Если y есть функция x, заданная в виде y = f (x), то скорость изменения y относительно x обозначается как
|
|
=.
Скорость изменения показывает то, как изменяется y с изменением x.
Линейная функция обладает тем свойством, что скорость изменения y относительно x является постоянной. Чтобы доказать это, обратите внимание, что если y = a + bx, то
=== b.
Для нелинейных функций скорость изменения функции будет зависеть от значения x. Рассмотрим, например, функцию y = x 2. Для этой функции
=== 2 x + D x.
Здесь скорость изменения от x до x + D x зависит от значения x и от величины изменения D x. Но если рассматривать очень малые изменения x, то D x будет почти равна нулю, так что скорость изменения y относительно x составит примерно 2 x.