Пусть известна ПР СДСВ. Используя формулу (4) представим ФР составляющих и в виде:
;
.
Дифференцируя равенства по соответствующим переменным, получим выражения для плотностей распределения составляющих:
;
.
Таким образом, чтобы получить ПР одной из величин, входящих в систему, нужно ПР системы проинтегрировать в бесконечных пределах по аргументу, соответствующему другой СВ.
Обратная задача: по известным законам распределения отдельных величин, входящих в систему, найти закон распределения системы. Если СВ и зависимы между собой, то закон распределения системы не может быть выражен через законы распределения составляющих. Это приводит к необходимости введения условных законов распределения.
Опр. Распределение одной СВ, входящей в систему, найденное при условии, что другая СВ,, входящая в систему, приняла определенное значение, называется условным законом распределения.
Условный закон распределения можно задавать как ФР, так и ПР. Условная ФР - , условная ПР - .
(5)
- ПР величины , при условии, что величина приняла определенное значение. Аналогично
(6)
- ПР величины , при условии, что величина приняла определенное значение.
Из соотношений (5) и (6) следует, что
. (7)
Равенство (7) называют теоремой умножения законов распределения.
Условная ПР обладает всеми свойствами безусловной ПР. В частности,
, .
Для краткого описания условных законов распределения мы можем использовать различные характеристики, например, условное МО (УМО):
Опр. УМО ДСВ , при условии, что величина приняла определенное значение , называется сумма возможных значений на их условные вероятности:
.
Для НСВ:
,
где - условная ПР величины при .
Аналогично, УМО ДСВ , при условии, что величина приняла определенное значение , называется сумма возможных значений на их условные вероятности:
.
Для НСВ:
,
где - условная ПР величины при .
Из определения УМО следует, что с изменением значения будет меняться и . Это значит, что мы можем рассматривать функцию , областью определения которой является множество возможных значений СВ . Эта функция носит название регрессии по .
Аналогично, УМО является функцией , которая носит название регрессии по .
Уравнения
и (8)
называются уравнениями регрессии соответственно по по и по . Линии, определяемые уравнениями (8), называются линиями регрессии. Эти линии вводятся лишь для НСВ (для ДСВ эти «линии» будут состоять из изолированных точек плоскости).