Рассмотрим вопрос о распределении давления в потоке идеальной жидкости. Обратимся к методу, применённому ранее для покоящейся жидкости.
Выделим в потоке жидкости точку А с координатами в осях, связанных с границами потока (например, со стенками трубопровода (рис. 3.9).
Рис. 3.9. К выводу уравнений Эйлера
Около этой точки выделим элементарный объём жидкости в виде прямоугольного параллелепипеда с боковыми рёбрами , как это было сделано в гидростатике.
На движущуюся жидкость действуют массовые силы – силы тяжести и силы инерции, а также силы давления, действующие на грани и направленные внутрь рассматриваемого объёма.
Пусть давление в этой точке , плотность . Скорость движения частицы жидкости обозначим через , а её проекции на оси - . Тогда проекции ускорения, с которым движется выделенный объём, будут равны . Масса выделенного объёма - . Будем считать, что внутри этого объёма на жидкость действует результирующая массовая сила, единичные проекции которой на оси координат равны
|
|
Составим уравнение движения выделенного объёма жидкости. Для этого спроектируем силы, действующие на него, в направлении оси .
. (3.12)
После деления на и преобразования, получим
.
Рассматривая аналогичным образом условия равновесия этого объёма относительно и , приходим к системе дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости Эйлера (3.13).
(уравнения Эйлера) (3.13)
Эти уравнения аналогичны уравнениям гидростатики, с тем, однако существенным отличием, что они, в соответствии с принципом Даламбера, содержат в правой части производную от соответствующей проекции скорости по времени.
Члены этих уравнений представляют собой ускорения, а физический смысл каждого уравнения состоит в следующем: полное ускорение частицы вдоль координатной оси складывается из ускорений от массовых сил и ускорений от сил давления.
Уравнения Эйлера справедливы как для несжимаемой жидкости, так и сжимаемой. Поскольку при выводе уравнений не накладывались условия стационарности движения, то они справедливы также и для неустановившегося движения.
Эти уравнения, как и уравнения гидростатики, были впервые выведены Леонардом Эйлером в 1755 году.