Дана система т линейных неравенств с двумя переменными
Знаки некоторых или всех неравенств могут быть ≥.
Рассмотрим первое неравенство в системе координат Х1ОХ2. Построим прямую
которая является граничной прямой.
Эта прямая делит плоскость на две полуплоскости 1 и 2 (рис. 19.4).
Полуплоскость 1 содержит начало координат, полуплоскость 2 не содержит начала координат.
Для определения, по какую сторону от граничной прямой расположена заданная полуплоскость, надо взять произвольную точку на плоскости (лучше начало координат) и подставить координаты этой точки в неравенство. Если неравенство справедливо, то полуплоскость обращена в сторону этой точки, если не справедливо, то в противоположную от точки сторону.
Направление полуплоскости на рисунках показываем стрелкой.
Определение 15. Решением каждого неравенства системы является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее.
Определение 16. Пересечение полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим неравенством системы, называется областью решения системы (ОР).
|
|
Определение 17. Область решения системы, удовлетворяющая условиям неотрицательности (xj ≥ 0, j =), называется областью неотрицательных, или допустимых, решений (ОДР).
Если система неравенств совместна, то ОР и ОДР могут быть многогранником, неограниченной многогранной областью или одной точкой.
Если система неравенств несовместна, то ОР и ОДР — пустое множество.
Пример 1. Найти ОР и ОДР системы неравенств и определить координаты угловых точек ОДР
Решение. Найдем ОР первого неравенства: х1 + 3x2 ≥ 3. Построим граничную прямую х1 +3x2 – 3 = 0 (рис. 19.5). Подставим координаты точки (0,0) в неравенство: 1∙0 + 3∙0 > 3; так как координаты точки (0,0) не удовлетворяют ему, то решением неравенства (19.1) является полуплоскость, не содержащая точку (0,0).
Аналогично найдем решения остальных неравенств системы. Получим, что ОР и ОДР системы неравенств является выпуклый многогранник ABCD.
Найдем угловые точки многогранника. Точку А определим как точку пересечения прямых
Решая систему, получим А(3/7, 6/7).
Точку В найдем как точку пересечения прямых
Из системы получим B(5/3, 10/3). Аналогично найдем координаты точек С и D: С(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).
Пример 2. Найти ОР и ОДР системы неравенств
Решение. Построим прямые и определим решения неравенств (19.5)-(19.7). ОР и ОДР являются неограниченные многогранные области ACFM и ABDEKM соответственно (рис. 19.6).
Пример 3. Найти ОР и ОДР системы неравенств
Решение. Найдем решения неравенств (19.8)-(19.10) (рис. 19.7). ОР представляет неограниченную многогранную область ABC; ОДР — точка В.
|
|
Пример 4. Найти OP и ОДР системы неравенств
Решение. Построив прямые, найдем решения неравенств системы. ОР и ОДР несовместны (рис. 19.8).
УПРАЖНЕНИЯ
Найти ОР и ОДР систем неравенств
Теорема. Если xn ® a, то .
Доказательство. Из xn ® a следует, что . В то же время:
, т.е. , т.е. . Теорема доказана.
Теорема. Если xn ® a, то последовательность {xn} ограничена.
Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.
Например, последовательность не имеет предела, хотя
Разложение функций в степенные ряды.
Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение для решения различных задач исследования функций, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений функции.
Возможны различные способы разложения функции в степенной ряд. Такие способы как разложение при помощи рядов Тейлора и Маклорена были рассмотрены ранее. (См. Формула Тейлора).
Существует также способ разложения в степенной ряд при помощи алгебраического деления. Это – самый простой способ разложения, однако, пригоден он только для разложения в ряд алгебраических дробей.
Пример. Разложить в ряд функцию .
Суть метода алгебраического деления состоит в применении общего правила деления многочленов.
Если применить к той же функции формулу Маклорена
,
то получаем:
……………………………….
Итого, получаем:
Рассмотрим способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования.
С помощью интегрирования можно разлагать в ряд такую функцию, для которой известно или может быть легко найдено разложение в ряд ее производной.
Находим дифференциал функции и интегрируем его в пределах от 0 до х.