В задачах, где рассматриваются геометрические векторы, бывает важным выяснить, являются ли векторы компланарными, т.е лежат ли они в одной и той же плоскости.
Если все векторы лежат в одной плоскости, то речь идет о плоской задаче. Если они не лежат в одной и той же плоскости, то рассматривается стереометрическая задача.
Рассмотрим три трехмерных вектора лежащих в одной плоскости. В этом случае один из них можно разложить по направлению двух других.
, a, b - числовые множители.
Определение. Векторы называются линейно зависимыми, если существуют такие не все равные нулю числа , что выполняется равенство: (3.2.1)
В развернутом виде:
Если равенство (3.2.1) выполняется только тогда, когда все , то называются линейно независимыми.
Содержательно линейная зависимость совокупности векторов означает, что в ней имеются «лишние векторы». Эти «лишние векторы» не несут информации, которая не могла бы быть получена из всех векторов совокупности, состоящей только из линейно независимых векторов.
|
|
Теорема Для того, чтобы векторы были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из них являлся линейной комбинацией других.
Теорема Для того, чтобы векторы в пространстве Rn были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы определитель составленный из компонент этих векторов был отличен от нуля.
Пример Дана система векторов
Линейно зависимы или линейно независимы эти векторы?
Решение: , векторы линейно независимы.