Лекция 3.
1. Интегралы вида (
,
,…
,
,
,…
).
2.Интегралы вида (
,
,…
,
,
,…
).
3. Интегралы вида ,
,
.
4. Интеграл от дифференциального бинома (
,
,
,
,
).
1. Интегралы вида (
,
,…
,
,
,…
). Через
обозначается рациональная функция относительно
т.е. выражение, которое получено из любых величин
, а также действительных чисел с помощью четырех арифметических действий.
В данных интегралах подынтегральная функция рациональна относительно переменной интегрирования и радикалов от . Они вычисляются подстановкой
, где
– общий знаменатель дробей
,
, …. При такой замене переменной все отношения
,
, … являются целыми числами, т.е. интеграл приводится к рациональной функции от переменной
:
.
Пример. Вычислить интеграл .
Решение. Имеем:
.
2. Интегралы вида (
,
,…
,
,
,…
). Интегралы данного типа подстановкой
,
где – общий знаменатель дробей
,
, …, сводятся к интегралам от рациональной функции переменной
.
Пример. Вычислить интеграл .
Решение. Имеем
.
3. Интегралы вида ,
,
.
Для вычисления интеграла выделяется полный квадрат под знаком радикала:
|
|
и применяется подстановка ,
.
В результате этот интеграл сводится к табличному:
.
Для вычисления интеграла в числителе интеграла выделяется производная выражения, стоящего под знаком радикала, и этот интеграл представляется в виде суммы двух интегралов:
,
где – вычисленный выше интеграл.
Вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла
подстановкой:
,
.
Пример. Вычислить интеграл .
Решение. Имеем
.
4. Интегралы вида . Частные случаи вычисления интегралов данного вида рассмотрены в предыдущем пункте. Иногда для вычисления данного интеграла используются тригонометрические подстановки.
Квадратный трехчлен путем выделения полного квадрата и замены переменной можно представить в виде
. Таким образом, достаточно ограничиться рассмотрением трех видов интегралов:
,
,
.
Интеграл подстановкой
(или
) сводится к интегралу от рациональной функции относительно
и
.
Интеграл подстановкой
(или
) сводится к интегралу от рациональной функции относительно
и
.
Интеграл подстановкой
(или
) сводится к интегралу от рациональной функции относительно
и
.
Пример. Вычислить интеграл .
Решение. Имеем
.
5. Интегралы вида (
,
,
,
,
).
Интегралы вида (
,
,
,
,
), называются интегралами от дифференциального бинома
. Эти интегралы выражаются через элементарные функции только в следующих трех случаях:
1) если , то используется подстановка
, где
– общий знаменатель дробей
и
;
2) если , то используется подстановка
, где
– знаменатель дроби
;
3) если , то используется подстановка
, где
– знаменатель дроби
.
|
|
Во всех остальных случаях, как было показано П.Л. Чебышевым, интегралы от дифференциального бинома не выражаются через элементарные функции.
Пример. Вычислить интеграл .
Решение. Имеем
.
Вопросы для самоконтроля
1. Как интегрируются интегралы вида , где
,
,…
,
,
,…
?
2. Какая используется подстановка при интегрировании интегралов вида (
,
,…
,
,
,…
)?
3. Как интегрируются следующие интегралы ,
,
?
4. В каких случаях можно вычислить интеграл от дифференциального бинома (
,
,
,
,
)?
5. Существуют ли интегралы, которые не выражаются через элементарные функции?