Кориолисово ускорение. Общие теоремы динамики точки и системы и следствия из них. Относительное движение точки, силы инерции. Теория удара.
Ускорение Кориолиса (добавочное, поворотное ) как вектор равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного вращения на вектор относительной скорости: .
Модуль ускорения Кориолиса равен
Рисунок 4.1. Ускорение Кориолиса
Направление ускорения Кориолиса определяют по правилу векторного произведения векторов или по правилу Жуковского (рис. 4.1): вектор относительной скорости нужно спроецировать на плоскость, перпендикулярную вектору угловой скорости (на рис. 4.1 – ), иначе – оси переносного вращения, и повернуть полученную проекцию на 900 по направлению переносного вращения .
Причин появления ускорения Кориолиса две: 1) изменение направления относительной скорости из-за переносного вращения; 2) изменение модуля переносной скорости из-за относительного движения.
Ускорение Кориолиса при сложном движении точки равно нулю в следующих случаях: 1) если переносное движение является поступательным (); 2) если нет относительного движения (vr = 0); 3) если векторы относительной скорости и угловой скорости переносного вращения параллельны ().
Динамика - важнейший раздел теоретической механики. Если предметом статики (ч. 1) являются только силы, кинематика (ч. 2) изучает только геометрические свойства движения, то динамика - важнейший раздел теоретической механики, в котором изучается движение различных материальных объектов в зависимости от действующих на них сил.
К основным понятиям динамики относятся, как и в статике, сила. абсолютно твердое тело: как и в кинематике - механическое движение, пространство. время. К специфическим понятиям динамики относится, в первую очередь, понятие материальной точки - простейший объект исследования, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Важное отличие материальной точки от точки как объекта исследования в кинематике состоит в том, что материальная точка обладает массой. Масса в теоретической механике - это определенно положительная скалярная величина, являющаяся мерой инертности материальной точки и любого другого объекта исследования в динамике. Кроме того, что материальная точка обладает массой, она обладает способностью взаимодействовать с другими материальными объектами, и это взаимодействие характеризуется силой.
Другими объектами исследования (материальными объектами) в динамике являются механическая система и абсолютно твердое тело. Механическая система (или система материальных точек) - это совокупность любого количества материальных точек, которые взаимодействуют между собой и рассматриваются совместно как объект исследования. Абсолютно твердое тело с точки зрения динамики - это механическая система, расстояния между любыми двумя точками которой не меняются, при каких бы то ни было условиях. По аналогии с механической системой можно говорить о системе тел как еще одном объекте исследования в динамике.
Законы динамики
Все содержание динамики строится на законах динамики (аксиомах, законах Ньютона). Первый закон (закон инерции). Свободная материальная точка сохраняет состояние покоя или прямолинейного равномерного движения до тех пор, пока другие материальные объекты путем силового воздействия на точку не изменят этого состояния.
Свойство материальной точки сохранять свою скорость постоянной по направлению и величине (в том числе при покое - равной нулю) называется инертностью. Мерой инертности материальной точки является ее масса (п. 3.1.1).
Второй закон (основной закон динамики). Ускорение, получаемое материальной точкой от действия на нее силы, пропорционально модулю силы и направлено в сторону действия силы.
Математически этот закон выражается в виде основного уравнения динамики:
где т - масса точки, а - ускорение, получаемое точкой от действия на нее силы F.
Из основного уравнения динамики следует, что если сила на точку не действует (F= 0), то ускорение, скорость v точки остается постоянной по направлению и величине - точка движется прямолинейно и равномерно, в том числе может находиться в состоянии покоя (v= 0). Это значит, что основной закон динамики включает в себя как частный случай закон инерции.
Для свободной материальной точки, находящейся в поле сил тяжести, из основного уравнения динамики следует соотношение между массой и силой тяжести: \mg =Р\, где g — ускорение свободного падения.
Первый и второй законы динамики справедливы только по отношению к абсолютному движению (ч. 2, п. 2.5.1, а также п. 3.8.3), по определению — в так называемых ин ерциальных системах отсчета. Для большинства практических задач за инерциальную можно принять систему отсчета (систему координат), связанную с вращающейся и фактически движущейся Землей.
Третий закон (закон равенства действия и противодействия). При действии одного материального объекта на другой возникает такое же по величине, противоположно направленное противодействие (ч. 1, п. 1.1.2).
Этот закон справедлив не только при взаимодействии соприкасающихся тел (для реакций связей, ч. 1, п. 1.1.3), но и в случае, когда взаимодействующие тела не касаются друг друга (для активных сил). В любом случае, так как силы действия и противодействия приложены к разным материальным объектам, они не образуют уравновешенной системы сил.
Четвертый закон (закон независимости действия сил). Ускорение материальной точки от действия на нее нескольких сил равно геометрической сумме ускорений, получаемых точкой от действия на нее каждой силы в отдельности.
Это означает, что основное уравнение динамики справедливо при действии на точку не только одной, а и нескольких сил:
Иначе та = ^ F^, где n - число действующих на точку сил. В этом смысле последнее векторное равенство ничем не отличается от основного уравнения динамики, если в нем под силой F подразумевать геометрическую сумму всех сил, действующих на точку: F = ^ F,..
Решение задач динамики точки методом интегрирования дифференциальных уравнений движения в общем случае представляет значительные математические трудности. Еще большие трудности возникают при использовании этого метода к движению механической системы.
Но в большинстве практических случаев нас не интересует движение каждой точки системы отдельно, достаточно знать лишь некоторые обобщенные, интегральные характеристики движения системы. Например, для катящегося по плоскости диска (диск - механическая система с бесконечно большим числом материальных точек) достаточно знать, как движется центр масс, какую угловую скорость и угловое ускорение имеет диск?
Такие обобщенные характеристики движения можно находить, используя основные (общие) теоремы динамики, справедливые для всех объектов исследования в динамике (п. 3.1.1) - для точки, для механической системы, для тела, для системы тел. Из теорем динамики вытекают соответствующие законы сохранения. Значение законов сохранения выходит далеко за рамки механики, они являются фундаментальными законами физики. В динамике имеют место триосновные теоремы об изменении: количества движения, момента количества движения, кинетической энергии.