Непериодическую функцию можно представить как периодическую с периодом . При числа будут охватывать все значения, то есть спектр волновых чисел будет непрерывным, и суммирование в ряде Фурье (34) заменится на интегрирование.
Если непериодическая функция f(t) удовлетворяет условиям Дирихле на любом конечном интервале и сходится, то ее можно представить интегралом Фурье, который в комплексной форме имеет вид
(35)
где S( . (36)
является аналогом коэффициента (формулы 34 и 36). Однако, если характеризует амплитуду волнового числа , то - плотность распределения комплексной амплитуды. Поэтому данную функцию называют спектральной плотностью или спектральной функцией. Ее модуль называют амплитудой спектральной плотности или амплитудным спектром.
Формулу (36) называют прямым преобразованием Фурье, а формулу (35) - обратным. Вместе они составляют пару преобразований Фурье.
В точках разрыва функции интеграл Фурье как и сумма ряда Фурье равен полусумме пределов функции слева и справа.
|
|
Интеграл Фурье можно представить аналогично формулам (24-25), то есть без комплексных выражений
,
где , .
Спектральная плотность выражается через функции и следующим образом
. (38)
Пример 34. Найти спектр прямоугольного импульса.
Прямоугольный импульс (рис.5) высотой и длительностью t задан уравнениями:
=
По формуле:
, находим спектральную плотность.
Так как - площадь импульса, то
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Что называется числовым рядом, частичной суммой, общим членом ряда, его суммой?
2. Запишите ряд в кратком виде. После записи проверьте, получаются ли из них все члены ряда:
а) ;
б) .
3. Сформулируйте необходимый признак сходимости ряда. Используя его, докажите расходимость рядов:
а) ; б) ; в) .
4. Сформулируйте достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами: признак Даламбера, признаки Коши. Исследуйте на сходимость ряды:
а) . Ответ: ряд сходится.
б) . Ответ: ряд расходится.
в) . Ответ: ряд расходится.
5. Сформулируйте признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.
6. Дайте определение абсолютно и условно сходящихся рядов.
7. Что называется областью сходимости функционального ряда?
8. Выведите формулу для вычисления радиуса сходимости степенного ряда?
9. Как исследуется сходимость степенного ряда в граничных точках области сходимости?
10. Найти области сходимости следующих рядов:
а) Ответ. при x =-2
ряд сходится условно.
б) Ответ.
в) Ответ.
11.Разложить в ряд по степеням x следующие функции:
а) Ответ.
б) Ответ.
в) Ответ.
Указание. Использовать формулу
12. Вычислить приближенно , воспользовавшись рядом
|
|
и взяв сумму первых пяти членов при х= 1. Какова будет величина допущенной ошибки?
13. Разложить функцию в ряд Фурье
а)
б)
Ответ: а) б) .
14. Разложить функцию в ряд Фурье по косинусам, продолжив ее в симметричный интервал:
а) Ответ:. .
б) Ответ: .
15. Написать формулу прямого и обратного преобразований Фурье.
16. Что называется спектральной плотностью?
17. Найти комплексный и амплитудный спектр функции
Ответ: ,
.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4.
Исследовать знакоположительные числовые ряды (а) на сходимость и знакочередующиеся числовые ряды (б) на абсолютную и условную сходимость.
1. а) ; б) .
2. а) . б)
3. а) ; б) .
4. а) ; б) .
5. а) ; б) .
6. а) ; б) .
7. а) ; б) .
8. а) ; б) .
9. а) б) .
10 а) ; б)
Найти интервал сходимости степенного ряда и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала.
Таблица 1.
Разлагая подынтегральную функцию в ряд, вычислить приближенно значение определенного интеграла с точностью до e=0,001.
Таблица 2.
№ | b | № | b | ||
Разложите в ряд Фурье периодическую функцию, аналитическое выражение которой задано на промежутке длиной, равной периоду.
31. 32.
33. 34.
35. 36.
37. 38. ,
39. Т=1. 40. ,
Разложите функцию в ряд Фурье по синусам. Постройте график суммы ряда.
41. 42.
43. 44.
45. 46.
47. 48.
49. 50.
Найдите преобразование Фурье функции .
51. 52.
53. 54.
55. 56.
57. 58.
59. 60.
С О Д Е Р Ж А Н И Е
Введение Рабочая программа Варианты контрольных заданий Литература Числовые ряды Числовой ряд. Общий член ряда Сходящиеся и расходящиеся ряды Основные свойства сходящихся рядов Признаки сходимости числовых рядов Необходимый признак сходимости ряда Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов Знакочередующиеся и знакопеременные ряды Знакочередующиеся ряды Знакопеременные ряды Функциональные ряды Функциональный ряд и его область сходимости Степенные ряды Ряды Маклорена и Тейлора Ряды Фурье Ряд Фурье в комплексной форме Интеграл Фурье Вопросы и упражнения для самопроверки Контрольная работа №4 |
План 2001/2002, поз. 31
ГладковЛев Львович
Гладкова Галина Александровна
Методические указания и контрольные задания по дисциплине «Высшая математика», часть IV для студентов уровня ВО заочной формы обучения специальности 145. 01. 03 «Сети телекоммуникаций»
Редактор Вердыш Н.В.
Подписано к печати 20.12.2002
Формат 60S84/16
Усл. Печ. Л. 2,3. Уч. - изд. Л. 2,0
Тираж 90 экз. Заказ 675.
Высший государственный колледж связи
220114 г. Минск, Староборисовский тракт 8, к. 2.