157. Трапеция получается из трапеции
гомотетией с некоторым центром
.
и
- точки пересечения диагоналей трапеций
и
. Доказать, что точки
,
и
коллинеарны.
158. Прямая, параллельная стороне треугольника
, отсекает от него треугольник
. Доказать, что медиана
треугольника
делит сторону
нового треугольника пополам.
159. Доказать, что прямая, соединяющая середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения ее диагоналей и через точку пересечения продолжений ее боковых сторон.
160. На основаниях и
трапеции
вне ее построены квадраты. Доказать, что прямая, соединяющая центры квадратов, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции.
161. Окружности и
касаются в точке
. Через точку
проведена секущая, пересекающая данные окружности в точках
и
соответственно. Доказать, что касательные к окружностям в точках
и
параллельны. Решить задачу для случаев: а) окружности касаются внешним образом; б) окружности касаются внутренним образом.
162. Прямая, параллельная стороне треугольника
, отсекает от него треугольник
. Доказать, что окружности, описанные около треугольников
и
, касаются.
|
|
163. – точка пересечения боковых сторон
и
трапеции
,
– точка пересечения ее диагоналей. Доказать, что: 1) окружности, описанные около треугольников
и
, касаются; 2) окружности, описанные около треугольников
и
, касаются.
164. Доказать, что множество середин всех хорд данной окружности, проходящих через фиксированную точку этой окружности, представляет собой окружность, гомотетичную данной и касающуюся ее в точке
. Определить коэффициент гомотетии.
165. Две окружности касаются внутренним образом. В произвольной точке внутренней окружности проведена к ней касательная, отрезок которой, заключенный внутри внешней окружности, делится этой точкой на два отрезка. Доказать, что полученные отрезки видны из точки касания данных окружностей под равными углами.
166. Окружности и
пересекаются в точках
и
. Через точку
проведены диаметры
и
данных окружностей. Доказать, что прямая
проходит через точку
.
167. Две окружности касаются внутренним образом в точке . Секущая
пересекает окружности в точках
,
,
,
, расположенных последовательно. Доказать, что углы
и
имеют равные величины.
168. Точки и
– середины сторон
и
выпуклого четырехугольника
. Прямые
и
делят диагональ
на три конгруэнтных отрезка:
. Доказать, что
, где
и
– точки пересечения прямой
с лучами
и
:
,
.
169. Две окружности и
пересекаются в точках
и
. Через точку
проведена секущая
, параллельная линии центров
и встречающая вторично эти окружности в точках
и
. Через точки
и
проведены к окружностям касательные
и
, пересекающиеся в точке
, а через центры
и
- прямые
и
, параллельные касательным
и
(соответственно), пересекающиеся в точке
. Доказать, что точки
,
и
коллинеарны и
- середина отрезка
.
|
|
170. В треугольнике с прямым углом
проведена высота
. Доказать, что медианы
и
треугольников
и
перпендикулярны.
171. Доказать, что в любом треугольнике точка пересечения медиан, точка
пересечения высот и точка
пересечения серединных перпендикуляров к сторонам лежат на одной прямой. Доказать также, что точка
делит отрезок
в отношении
Х).