В изотропном параллелепипеде (рис.3.7,а) с внутренними источниками тепла, равномерно распределенными по объему, стационарное температурное поле описывается дифференциальным уравнением теплопроводности, которое, как это следует из (2.11.а), имеет вид
Приняв температуру всех шести граней одинаковой, равной ts, и отсчитывая температуру любой точки относительно ts, граничные условия примут вид
Точное решение дифференциального уравнения при указанных граничных условиях, которое позволяет рассчитать температуру в любой точке тела t(x, y, z) приведено в работе [5].
Там же показано, что температура в центре параллелепипеда to= F(L1/2, L2/2, Н/2) может быть найдена по формуле
Коэффициент С зависит только от двух параметров: H/L1 и H/L2, при этом направление координатных осей выбирается таким, чтобы выполнялось условие: L1 > H, L2 > H.
Зависимость C=F(H/L1, H/L2) представлена на рис.3.7.
-
-
Рис.3.7. К анализу температурного поля параллелепипеда:
а - однородный анизотропный параллелепипед;
б – график зависимости С = F(H/L1, Н/L2].
На основании точного решения в [1] предложена приближенная формула, позволяющая определить температуру tj в любой j -ой точке параллелепипеда
где lj - расстояние от центра параллелепипеда до j -ой
точки;
Lj - расстояние от центра до грани параллелепипеда по
прямой, проходящей через точку j.
Для анизотропного параллелепипеда, коэффициенты теплопроводности которого по координатным осям x, y, z различны и источники энергии по объему распределены равномерно, выражения (3.22) и (3.23) остаются справедливыми, если в дифференциальное уравнение изотропного тела подставить преобразование координаты
где за базовую теплопроводность принимается одна из λx,
λy, λz.
Если за λ принять λz, то коэффициент С будет функцией
C = f(H/L10, H/L20),
где L10 = L1 (λz/λx)0.5; L20 = L2 (λz/λy)0.5 – преобразованныеразмеры тела.
Здесь, как и для изотропного тела, направление координат выбирается так, чтобы L10 > H, L20 > H.