>>Рeшение системы методом Гаусса
>> А=[2 -1 1;3 2 -5;1 3 -2);
>>b=[0;1;4];
>> C=rref([A b])%Приведение расширенной матрицы к треугольному виду
С =
1.0000 0 0 0.4643
О 1.0000 0 1.6786
0 0 1.0000 0.7500
>> х=С(1:3,4:4)%Выделение последнего столбца из матрицы
х = %Решение системы
0.4643
1.6786
0.7500
>> А*х %Проверка
ans =
Собственные значения и собственные векторы
Пусть А - матрица размерностью п* п. Любой ненулевой вектор х, принадлежащий некоторому векторному пространству, для которого Ах = λ х, где λ - некоторое число, называется собственным вектором матрицы А, а λ- принадлежащим ему или соответствующим ему собственным значением матрицы А.
Уравнение Ах = λх эквивалентно уравнению (А - λ * Е)х = 0. Это однородная система линейных уравнений, нетривиальные решения которой являются искомыми собственными векторами. Она имеет нетривиальные решения, только когда r(А - λ * Е) < п, то есть, если det (A - λ * Е) = 0.
Многочлен det(A - λ * Е) называется характеристическим многочленом матрицы А, а уравнение det(A - λ * Е) = 0 - характеристическим уравнением матрицы А. Если λi - собственные значения А, то нетривиальные решения однородной системы линейных уравнений (А – λ* Е) = 0 есть собственные векторы А, принадлежащие собственному значению λi. Множество решений этой системы уравнений называют собственным подпространством матрицы А, принадлежащим собственному значению λi, каждый ненулевой вектор собственного подпространства является собственным вектором матрицы А.
Иногда требуется найти собственные векторы у и собственные значения μ, определяемые соотношением Ay = μ By(y≠ 0), где В - невырожденная матрица. Векторы у и числа т обязательно являются собственными векторами и собственными значениями матрицы B-1 A. Пусть А = {аij} и В= {bij}, причем матрица В является положительно определенной, тогда собственные значения т совпадают с корнями уравнения n-й степени det(A - μ B) = det(a ij – μ bij) = 0.
Это уравнение называют характеристическим уравнением для обобщенной задачи о собственных значениях. Для каждого корня μ кратности т существует ровно т линейно независимых собственных векторов у.
Задача 10.
Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А.
>>А=[5 2 -1;1 -3 2; 4 5 -3];
>> Вектор собственных значений матрицы
>> eig(A)
ans =
4.9083
-0.0000
-5.9083
>> [L, D]=eig(A)
L =%Матрица собственных векторов
-0.7961 -0.0493 0.1813
-0.2410 0.5426 -0.5988
-0.5551 0.8385 0.7801
D = %Диагональная матрица собственных значений
4.9083 0 0
О -0.0000 0
О 0 -5.9083
>>Проверка
>> (A-D(l,l)*eye(3))*L(:,l)
ans =
1.0е-015 *
0.1110
0.8882
-0.8882
>>(A-D(2,2)*eye(3))*L(:,2)
ans =
1.0e-015 *
-0.8882
0.8882
-0.8882
>> (A-D(3,3)*eye(3))*L(:,3)
ans =
1.0e-014 *
0.1776
0.0444