Определение. Случайные величины и , для которых корреляционный момент , называются некоррелированными.
Учитывая, что
,
получаем: случайные величины и являются некоррелированными тогда и только тогда, когда .
Отсюда и из теоремы 2 вытекает, что из независимости случайных величин всегда следует их некоррелированность. Обратное, вообще говоря, неверно. Можно только сказать, что если случайные величины являются коррелированными, так, что , то они являются зависимыми.
Пример.
Равномерное распределение в круге .
Ранее были найдены одномерные плотности вероятностей координат вектора :
и установлено, что случайные величины и являются зависимыми, так как .
Найдем корреляционный момент СВ и .
в силу нечетности подинтегральной функции и симметричности относительно нуля пределов интегрирования.
По аналогичным соображениям Найдем .
также в силу нечетности подинтегральной функции.
Таким образом, и, следовательно, случайные величины и являются зависимыми, но некоррелированными.
Понятие некоррелированности случайных величин играет важную роль в теории вероятностей. Подтверждением тому является следующая теорема.
Теорема 3 (теорема сложения дисперсий).
Для любых действительных чисел и любых случайных величин и , имеющих конечную дисперсию
.
В частности, если и случайные величины и являются некоррелированными, то имеет место свойство аддитивности дисперсии:
.
▲ Доказательство теоремы основано только на свойствах математического ожидания и определении корреляционного момента :
.■.
По индукции утверждение теоремы 3 обобщается на линейную комбинацию любого конечного числа случайных величин следующим образом.
Для любых действительных чисел и случайных величин , имеющих конечную дисперсию
.
В частности, если все , а случайные величины являются попарно некоррелированными (), то имеет место свойство аддитивности дисперсии:
.