1) Смешанное произведение некомпланарных векторов по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на сомножителях. Оно положительно, если тройка правая, и отрицательно, если она левая.
Доказательство.
Действительно, объем параллелепипеда, построенного на векторах равен произведению площади основания на высоту где – угол между и
Поэтому
Знак смешанного произведения совпадает со знаком и поэтому, смешанное произведение положительно, когда направлен с в одну сторону от плоскости векторов т.е. тройка – правая. Аналогично, смешанное произведение левой тройки векторов отрицательно. ∎
2) Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.
Доказательство. Если один из векторов нулевой, то свойство очевидно.
Пусть , , ¹ 0.
Пусть , , – компланарны. Тогда ^ .
Пусть Þ либо ^ , либо .
В первом случае это означает, что вектор ^ векторам , , Þ , , – компланарны. Во втором случае – || Þ и – линейно зависимы Þ , , – компланарны.
|
|
3) Смешанное произведение не зависит от группировки сомножителей, т.е. .
Доказательство. Тройки , , и , , ориентированы одинаково, значит знак смешанного произведения одинаковый. Модуль так же одинаковый в силу свойства 1.
Обозначение. Смешанное произведение векторов , , обозначается , .
4) .
Следует из свойства циклической перестановки ориентированных векторов.
5) , .
Следует из свойств скалярного произведения.
Теорема 5 (линейность векторного произведения). Для любых векторов и любых чисел l и m имеет место равенство:
Доказательство. Воспользуемся линейностью смешанного произведения по второму сомножителю:
Выбирая вместо вектора ортонормированного базиса, можно видеть, что координаты векторов и равны, а значит, равны эти вектора. ∎
60. Выражение векторного и смешанного произведения векторов через координаты сомножителей
Пусть в пространстве векторов задан произвольный базис . Пусть заданы своими координатами в этом базисе, т.е.
.
Тогда Так как , то получаем
В частности, если базис – ортонормированный, т.е. то в силу , получаем
Это равенство формально можно переписать в виде
Если ввести в рассмотрение третий вектор и вычислить смешанное произведение векторов, то получаем:
с учетом свойства равенства нулю смешанного произведения компланарных векторов. Отсюда следует, что
или, формально можно записать
Если рассматриваемый базис ортонормированный, то
70. Двойное векторное произведение.
Определение 18. Двойное векторное произведение векторов , , это произведение вида .
Выразим двойное векторное произведение через скалярное.
|
|
Пусть Þ ^ и ^ . Тогда, в силу ^ Þ лежит в плоскости векторов и Þ . Умножим это равенство скалярно на . Имеем .
Пусть вектор не перпендикулярен одновременно векторам и (в противном случае в обоих случаях). Тогда Þ , такое что , .
Тогда
.
Для того, чтобы найти , вычислим левую и правую части в некотором базисе. Пусть вектор направлен вдоль вектора , лежит в плоскости векторов и , определяется из условия, что , , образуют правую тройку. Тогда , , .
Имеем
, .
.
.
Отсюда видно, что . Итак, справедлива формула:
.
Пример 1. Доказать тождество Якоби:
.
Имеем
,
,
.
Суммируя эти равенства, получим тождество Якоби.
Пример 2. Вычислить .
Имеем:
()
.
80. Примеры решения задач.
Пример 1. Вычислить синус угла между векторами , .
Имеем: . . .
Пример 2. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах , . Так как модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах, то имеем
.
Если параллелограмм расположен в плоскости, то и
.
.