Решение.
1) =
=
,
тогда
.
2) =
Очевидно =
= 3.
3) Орт обозначим
. Для получения вектора единичной длины надо каждую координату вектора поделить на его длину.
.
5) Т.к. ,
,
, то
Действия с векторами.
Линейными операциями над векторами являются сложение векторов и умножение вектора на число.
· Векторы называются линейно зависимыми, если существуют такие числа
(хотя бы одно из которых не равно нулю), что выполняется равенство
· .
· Векторы называются линейно независимыми, если данное равенство выполняется только если
.
· Для линейной зависимости двух векторов необходима и достаточна их коллинеарность. Для линейной зависимости трех векторов ─ компланарность.
· Совокупность трех (двух) линейно независимых векторов трехмерного пространства (плоскости), взятых в определенном порядке, образует базис.
· Любой вектор единственным образом представляется в виде суммы
. Числа
─ координаты вектора
в данном базисе.
В прямоугольной системе координат базисом является тройка векторов
|
|
где ─ орт оси
;
─ орт оси
; ─
орт оси
.
Два вектора равны, когда равны соответствующие координаты в одном и том же базисе.
Координаты суммы векторов равны суммам соответствующих координат.
Координаты произведения вектора на число равны произведениям координат данного вектора на это число.
· Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов является пропорциональность их соответствующих координат.
· Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю определителя, строками (столбцами) которого являются координаты данных векторов.
Пример 2. Даны векторы и
.
Найти проекции на координатные оси векторов:
1) ; 2)
; 3)
.