Сферическая геометрия изучает свойства фигур, расположенных на сфере.
Рассмотрим некоторые понятия и их свойства в сферической геометрии.
1. Большая окружность.
Определение [1.1]. Пересечение сферы с плоскостью, проходящей через центр сферы, называется большой окружностью, и — малой окружностью, если плоскость не проходит через центр сферы.
Большие окружности обладают следующими свойствами.
. Через всякие две точки сферы, не являющиеся диаметрально противоположными, проходит только одна окружность; через две диаметрально противоположные точки проходит бесконечное множество
больших окружностей.
. Всякие две большие окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках.
2. Двуугольник. Одна большая окружность делит сферу на две части, каждая из которых называется полусферой; две большие окружности делят сферу на четыре части, каждая из которых называется двуугольником (рис. 48). Точки пересечения больших окружностей, образующих четыре двуугольника, называются вершинами этих двуугольников, а угол между касательными, проведенными в вершине, называется углом двуугольника.
|
|
На сфере двуугольник играет такую же роль, как угол на евклидовой плоскости. Только, в отличие от угла на евклидовой плоскости двуугольник имеет площадь.
Теорема [1.1]. Площадь двуугольника равна
где — угол двуугольника.
Определение [1.2]. Двуугольник называется прямоугольным, если .
Определение [1.3]. Две большие окружности, образующие прямоугольные двуугольники, называются перпендикулярными.
3 . Через каждую точку на сфере можно провести одну и только одну большую окружность, перпендикулярную данной большой окружности.
3. Расстояние и движение. Пусть и — две точки на сфере. Проведем через них большую окружность . Точки и делят окружность на две дуги.
Определение [1.4]. Длина той из двух дуг большой окружности с концами в точках и , которая не больше полуокружности, называется сферическим между этими точками.
Обозначение: — сферическое расстояние
Теорема [1.2]. Имеет место формула
где — длина отрезка .
Определение [1.5]. Движением сферы называется всякое изометрическое отображение сферы на себя, т. е. такое отображение, при котором для любых двух точек и сферы и их образов , выполняется равенство: .
Из формулы (1) следует, что . Поэтому можно сказать, что всякое движение сферы порождается некоторым движением евклидова пространства и обратно.
Определение [1.6]. Две фигуры и , лежащие на сфере, называются конгруэнтными или равными, если существует движение сферы, отображающее одну фигуру на другую.
Очевидно, множество всех движений сферы является группой. Следовательно, сферическая геометрия есть геометрия этой группы.
|
|
4. Сферический треугольник и его площадь.
Определение [1.7]. Сферическим треугольником называется множество, состоящее из трех точек , и сферы, не лежащих на одной большой окружности, и трех дуг , , больших окружностей, соединяющих попарно эти точки.
Теорема [1.3]. Площадь сферического треугольника вычисляется по формуле:
Следствие 1. Площадь сферического треугольника пропорциональна его дефекту.
Следствие 2. Сумма углов сферического треугольника больше .