Теорема 4.1. Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема на . Тогда для формул (4.5.3) и (4.5.4) справедливы следующие оценки погрешности:
(4.6.1)
(4.6.2)
Доказательство
Получим, например, формулу (4.6.1). По определению погрешности
С другой стороны, по формуле Тейлора
Тогда
Но следовательно, Аналогично выводится и формула (4.6.2).
Теорема 4.2. Пусть функция имеет на непрерывную четвертую производную. Тогда для формулы (4.5.6) справедлива следующая оценка:
(4.6.3)
Пример. Вычислить интеграл по формулам прямоугольников, трапеций и парабол и оценить погрешность вычислений.
числитель | знаменат. | |||||
0.50 | 1.100 | 0.453596 | 1.050 | 3.167423 | 0.143207 | |
1/2 | 0.55 | 1.121 | 0.434782 | 1.125 | 3.202268 | 0.135773 |
0.60 | 1.144 | 0.413957 | 1.200 | 3.232039 | 0.128079 | |
3/2 | 0.65 | 1.169 | 0.391072 | 1.275 | 3.256570 | 0.120088 |
0.70 | 1.196 | 0.366083 | 1.350 | 3.275723 | 0.111756 | |
5/2 | 0.75 | 1.225 | 0.338946 | 1.425 | 3.289391 | 0.103042 |
0.80 | 1.256 | 0.309623 | 1.500 | 3.297495 | 0.093896 | |
7/2 | 0.85 | 1.272 | 0.294370 | 1.575 | 3.299991 | 0.089203 |
0.90 | 1.324 | 0.244299 | 1.650 | 3.296865 | 0.074100 | |
9/2 | 0.95 | 1.361 | 0.208261 | 1.725 | 3.288134 | 0.063337 |
1.00 | 1.400 | 0.169967 | 1.800 | 3.273848 | 0.051917 |
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
Оценим теперь погрешность вычислений только по теореме 4.1:
Вторая производная уже получается настолько громоздкой, что оценка погрешности становится затруднительной. Тем не менее можно провести грубую оценку сверху Итак,
Так оно и есть, поскольку значения интеграла, полученные по формулам прямоугольников и трапеций, отличаются в четвертом знаке после запятой.