Рассмотрим функцию , определенную и непрерывную в прямоугольнике К:
Определение. Если для любого и любых двух значений и переменной :
, существует такое, не зависящее от х число , что выполнено неравенство: (1), то говорят, что функция в области К удовлетворяет условию Липшица с постоянной L.
Замечания:
1. Если в области К имеет непрерывную частную производную , то всегда найдется такое L, что условие (1) будет выполнено. Действительно, тогда по формуле Лагранжа (2),
– лежит между и .
В силу непрерывности в К и замкнутости области К, в К ограничена, т.е. , где L – некоторая константа. В этом случае, в частности, за L можно принять .
2. Условие Липшица (1) более слабое, чем существование частной производной , так как оно может быть выполнено и в том случае, когда существует не всюду в К.
Примеры:
1. Определить, удовлетворяет ли условию Липшица функция заданная в прямоугольнике ?
Решение.
Следовательно, за L можно принять и условие Липшица выполнено. Тот же результат получим, если используем замечание 1. Действительно, функция имеет непрерывную , поэтому за L можно принять .
|
|
Таким образом, заданная функция удовлетворяет условию Липшица в любом конечном прямоугольнике.
2. То же самое для функции .
Это значит, что в прямоугольнике K условие выполнено с .
Здесь константа L не зависит от размеров прямоугольника, следовательно, условие Липшица удовлетворяется на всей плоскости.
3. То же для функции
В то же время не существует при , т.к.
.