2015-06-26
441
Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим. Разряды имеют названия и номера: разряд единиц, или нулевой разряд; разряд десятков, или первый разряд; разряд сотен, или второй разряд, и т. д. Количественный эквивалент цифры в записи числа равен произведению значения цифры на вес разряда, где она записана.
Для записи первых девяти натуральных чисел используются одноразрядные числа, т. е. числа, состоящие из одной цифры от 0 до 9. Для записи числа, большего на единицу старшей цифры 9 десятичной системы счисления, т. е. числа десять, уже нет цифры, поэтому число десять записывается в виде комбинации из двух цифр – 10, т. е. одного десятка и нуля единиц. Десять десятков образуют одну сотню, десять сотен – одну тысячу. В общем, десять единиц любого разряда образуют единицу следующего (более старшего) разряда.
Число 22210 записано в свернутой форме. В развернутой форме (явной, где указывается вес отдельных разрядов) запись этого числа имеет вид:
22210 = 2·102 + 2·101 + 2·100,
Эту запись называют еще разложением числа по степеням основания. Очевидно, что такая запись числа является полиномом от основания p, т. е. суммой числового ряда степеней основания (в данном случае – 10).
Для записи десятичных дробей используются отрицательные значения степеней основания. Например, число 222,2210 в развернутой форме выглядит так:
222,2210 = 2·102 + 2·101 + 2·100 + 2·10–1 + 2·10–2.
Следует отметить, что номера разрядов числа совпадают с показателями степени основания.
В общем случае краткая (свернутая) запись смешанной десятичной дроби, имеющей n разрядов в целой части числа и m разрядов в дробной части числа, имеет вид:
A10 = an–1an–2…a0,a–1a–2…a–m. (1)
Формула разложения числа, представленного выражением (1), по степеням основания 10 (развернутая форма записи числа) имеет вид:
A10 = an–1·10n–1 + an–2·10n–2 + …a0·100 + a–1·10–1 + a–2·10–2 +…+ a–m·10–m. (2)
Основание 10 системы обозначено подстрочным индексом к числу.
Системы счисления с произвольным основанием
Основанием позиционной системы счисления может быть любое натуральное число p, большее единицы. Для записи чисел в такой системе счисления необходимо иметь алфавит из р цифр от 0 до (р – 1) включительно. При р ≤ 10 используются р первых арабских цифр, а при р > 10 к десяти арабским цифрам добавляют латинские буквы.
Примеры алфавитов некоторых систем приведены в табл. 1.
Т а б л и ц а 1
