Целесообразно применять, когда общий член ряда порождает функцию, первообразная которой находится без особого труда.
Если - непрерывная, положительная, убывающая в , значения которой при натуральных значениях аргумента совпадают с соответствующими значениями ряда
, то этот ряд и несобственный интеграл одновременно сходятся или расходятся.
Исследование знакопостоянных рядов:
- проверить необходимое условие;
- применить признак Даламбера, радикальный признак Коши, интегральный признак Коши или признаки сравнения.
3.3. Знакопеременные ряды:
Теорема (общий достаточный признак):
Если сходится ряд, составленный из абсолютных величин членов знакопеременного ряда, то сходится и знакопеременный ряд.
Определение: знакопеременный ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом строго поочередно, называется знакочередующимся.
Теорема (признак Лейбница):
Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда убывая стремятся к нулю, то такой ряд сходится и абсолютная величина его суммы не превосходит абсолютной величины первого члена ряда.
Ряд, отвечающий условиям признака Лейбница, называется лейбницевским. Любой лейбницевский ряд сходится.
Исследование сходимости знакопеременных рядов:
- проверить необходимое условие;
- проверить для ряда условия Лейбница;
- составить ряд из абсолютных величин (если он сходится, то данный ряд сходится абсолютно; если он расходится, то данный ряд сходися условно)
3.4. Степенные ряды:
Определение:
Ряд, все члены которого являются функциями одного и тогоже аргумента называется функциональным.
Его общий вид: .
Определение:
Функциональный ряд вида , где коэффициенты ряда - любые действительные числа, называется степенным, расположенным по степеням .
Исследование сходимости степенных рядов:
-находим радиус сходимости или , записываем интервал сходимости;
- проверяем поведение ряда на концах интервала;
- находим область сходимости.
3.5. Ряд Тейлора:
Ряд, стоящий в правой части равентсва называется рядом Тейлора по функции .
При ряд Тейлора принимает вид:
и называется рядом Маклорена.
3.6. Разложение элементарных функций в ряд по степеням :
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. ;
9. ;
10. ;
11. ;
3.7. Ряды Фурье. Теорема Дирихле.
Определение:
Функция , называется удовлетворяющей условиям Дирихле на , если она на этом отрезке
· непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода;
· имеет конечное число строгих экстремумов.
·
Теорема Дирихле (достаточное условие разложимости функции в ряд Фурье):
Если функция отвечает на отрезке условиям Дирихле, то ее ряд Фурье сходится в каждой точке этого отрезка, причем во внутренних точках непрерывности функции ряд сходится к самой функции . В каждой внутренней точке разрыва функции ряд сходится к среднему арифметическому предельных значений этой функции в точке слева и справа, т.е. . В обеих граничных точках ряд сходится к среднему арифметическому предельных значений функции в этих точках, когда стремится к ним изнутри отрезка, т.е. .
Алгоритм разложения периодических функции в ряд Фурье на :
- строим график на и с его помощью проверяем выполнение условий Дирихле;
- устанавливаем ожидаемую форму ряда Фурье;
- вычисляем коэффициенты по формулам Эйлера-Фурье и составляем формальный ряд;
- строим на заданном отрезке график суммы ряда;
- периодически продолжаем грифики функции и суммы на всю числовую ось;
- определяем точки сходимости ряда к самой функции ;
Аналогично, раскладываются в ряд Фурье периодические функции на ; ; .
Алгоритм разложения в ряд Фурье нерериодических функций, заданных на ; по косинусам (по синусам):
- продолжаем функцию четным (нечетным) образом на () и получаем новую функцию ;
- строим график и проверяем условия Дирихле;
- устанавливаем ожидаемую форму ряда Фурье;
- вычисляем коэффициенты по формулам Эйлера-Фурье и составляем формальный ряд ;
- строим на заданном отрезке график суммы ряда;
- определяем точки сходимости ряда к самой функции ;
Если - общего положения на , то ее можно разложить в ряд Фурье вида:
, где ;
, где
, где
Если - общего положения на , то ее можно разложить в ряд Фурье вида:
, где ;
, где
, где
Если - общего положения на , то ее можно разложить в ряд Фурье вида:
, где ;
, где
, где
Если - четная на , то ее можно разложить в ряд Фурье вида:
, где ;
, где
Если - нечетная на , то ее можно разложить в ряд Фурье вида:
, где , где
При вычислении интегралов, учитываем, что и
РАЗДЕЛ IV: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО.
4.1. Основные понятия:
Определение: соответствие , при котором каждому значению отвечает одно или несколько значений называется функцией комплексной переменной .
Обозначение: .
Функция комплексного переменного может быть одноизначной и многозначной.
Т.к. , то можно представить как .
Здесь , а .
Определение (для однозначных или отдельных вертвей многозначных):
Комплексное число называется пределом функции при , если для такое, что при всех отличных от и удовлетворяющих неравенству справедливо неравенство .
Обозначение: .
Если представлена в виде , то она непрерывна в точке тогда и только тогда, когда в точке одновременно непрерывны ее действительная часть и мнимая .
Определение:
Функция непрерывная в каждой точке некоторого множества называется непрерывной на этом множестве.
Определение (для однозначных или отдельных вертвей многозначных): ;
Дифференциал фкп находят по формуле: .
Если дифференцируема в точке , то она в этой точке и непрерывна, обратное не справедливо.
Функция называется дифференцируемой на некотором множестве, если она дифференцируема в каждой точке этого множества.
Теорема (необходимое и достаточное условия дифференцируемости фкп):
Для того чтобы однозначная функция была дифференцируемой в точеке необходимо и достататочно, чтобы в т. :
- и были дифференцируемы;
- выполнялись равенства (условия Даламбера - Эйлера или Римана - Коши).
Определение:
Функция называется аналитической в точке, если она однозначна и дифференцируема в этой точке и ее окрестности.
Определение:
Функция называется аналитической в области, если она аналитическая в каждой точке этой области.
Примечание: функции, содержащие не являются аналитическими.
4.2. Основные элементарные функции:
1. Степенная функция
а) если - натуральное, то и ;
б) если , где ,то ,
в) если , где и - несократимая, то
, .
2. Показательная функция
и , ( и )
Специфическое свойство: , при
3. Логарифмическая функция
Формула вычисления - , где
Если , то имеем главную ветвь - , т.е. , где
4. Тригонометрические функции
; ; ; .
Специфическое свойство: и могут быть большими единицы.
5. Гиперболические функции
; ; ;
Формулы связи: и .
Функции и - периодические с периодом , а и - .
Характерно, что и .
6. Обобщенные степенная и показательные функции (не относятся к числу основных элементарных, но являются элементарными)
- обобщенная степенная функция , где любое комплексное число, функция определяется равенством ;
- обобщенная показательная функция , где а – любое комплексное число , функция определяется равенством
4.3. Определение и свойства контурного интеграла по кривой:
Пусть в плоскости Гаусса задана гладкая направленная кривая с начальной точкой и конечной и пусть в каждой точке этой кривой определена однозначная непрерывная функция .
Определение: Конечный предел интегральной суммы функции на кривой при условии, что и называется контурным интегралом от этой функции по кривой , где
Т.о. .
Основные свойства:
- ;
- ;
- , где - постоянная;
- ;
- .
4.4. Вычисление контурных интегралов от непрерывной функции комплексного переменного: