Будем полагать, что Г – гладкая ориентированная кривая:
.
1. Т.к. криволинейный интеграл II-го рода сводится по определению к криволинейному интегралу I-го рода, то сохраняется свойство линейности:
Пусть и
.
(7)
СЛЕДСТВИЕ.
=
, причем:
.
Доказательство:
Достаточно положить:
.
2. Криволинейный интеграл II-го рода меняет знак при изменении ориентации кривой.
(8)
Доказательство:
- единичный касательный вектор, соответствует ориентации дуги
.
- единичный касательный вектор, соответствует ориентации дуги
.
Очевидно = -
.
(9)
Это равенство получается в силу независимости криволинейного интеграла I-го рода от ориентации дуги.
3. Пусть Г – замкнутая и существует , тогда интеграл II-го рода не зависит от выбора начальной точки.
Доказательство следует из независимости криволинейного интеграла I-го рода от выбора начальной точки и из связи криволинейного интеграла II-го рода с криволинейным интегралом I-го рода.
4. Пусть Г гладкая, - пунктированное разбиение Г точками
и точками
.
|
|
, тогда:
(10)
Доказательство вытекает из связи криволинейный интегралов I-го и II-го рода.
Аналогично:
ЗАМЕЧАНИЕ.
Все сказанное остается в силе, если , т.е.
,
. Если в предыдущих функциях
, то получим
.
ПРИЛОЖЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА II-ГО РОДА.