Рассмотрим одноканалную (с одним устройством обслуживания) СМО, показанную на рис. 1.2.
Если обозначить среднее время пребывания требований в очереди и рассматривать СМО как очередь , то, используя формулу Литтла, можно найти среднее количество требований в очереди:
(1.3)
Если обозначить среднее время обслуживания в устройстве и рассматривать СМО как устройство , то, используя формулу Литтла можно найти среднее количество требований в устройстве:
(1.4)
Всегда имеет место уравнение , где - среднее время пребывания требований в СМО с одним устройством обслуживания.
Коэффициент загрузки определяет, какую часть времени устройство было занято на протяжении всего времени наблюдения за СМО.
Для обозначения СМО используются три параметра для первых трех параметров: X/Y/Z, где X - распределение времени поступления; Y - распределение времени обслуживания; Z - число обслуживающих устройств.
В теории СМО некоторые аналитические решения были получены для систем вида D/D/l, M/M/1 и М/G/l. Для других значений параметров систем обслуживания аналитические решения не были получены, то есть эта проблема мотивирует использование моделирования.
Самая известная модель - это так называемая СМО типа М/М/1, где М - марковские процессы распределения времени поступления и обслуживания с одним устройством. Например, в системе М/М/1 время между двумя поступлениями в систему требований и время обслуживания имеют экспоненциальные распределения. Такая СМО иногда используется как модель для одного процессора компьютерной системы или как стандартное устройство ввода-вывода (например, магнитный диск). Система D/D/1 - детерминированная система, тогда как D/M/1 - смешанная. Если о системе мало известно, это обозначается как G/G/m, то есть система с произвольными распределениями и т устройствами.
Изучая любую систему, важно оценить характер ее рабочей нагрузки (например, при моделировании компьютерной системы важно знать: когда новые программы (задачи) поступают в систему; сколько времени нужно процессору для выполнения любой из них; как часто программа обращается к устройству ввода-вывода). Этот процесс можно отобразить графиком работы системы (графический метод моделирования), на котором показаны входы задач в систему, ресурсы к которым они обращаются, как долго задачи их используют и т. д.
Если описанный сценарий зафиксирован соответствующим графиком и часто возникает в моделируемой системе, то тогда он целиком отвечает выборке, которая получена методом измерений при наблюдении за работой компьютера. Тем не менее, моделирование при использовании такого описания рабочей нагрузки только воссоздает результаты работы этого специфического сценария. Этого недостаточно для выполнения системой других сценариев. Даже незначительное несоответствие заданному сценарию может привести к драматическим последствиям работы компьютера.
Часто рабочая нагрузка на систему определяется одним или несколькими распределениями вероятностей в отличие от заданных сценариев. Например, можно бросать монету каждые 15 мин на протяжении операции исследования системы, и если монета падает лицевой стороной, то новая задача поступает в систему в этот момент времени. Если монета падает обратной стороной, то никакая задача
не поступает в систему. Это пример метода розыгрыша случайной величины (метод Монте-Карло), который используется для моделирования вероятностных систем.
В компьютерном моделировании «бросание монеты» можно генерировать методом случайных чисел. Если выявлены статистические закономерности и используются соответствующие распределения вероятностей для определения рабочей нагрузки на систему, а также применяются соответствующие статистические методы анализа результатов моделирования, то полученные результаты относятся к более широкому диапазону рабочих нагрузок, чем подход с использованием определенного сценария.
Введем коэффициент вариации как отношение стандартного отклонения к среднему:
(1.5)
где — среднеквадратичное отклонение для .
Для экспоненциального закона распределения = 1, поскольку и для этого закона равняется . Для регулярного детерминированного закона распределения = 0 ( =0).
Для системы G/G/1 среднее количество требований определяется как
(1.6)
Используя результат Хинчина - Полячека, можно получить среднее время пребывания в одноканальной СМО по формуле
(1.7)
Основной результат (1.7) состоит в том, что среднее время пребывания требования в системе зависит только от математического ожидания и стандартного отклонения времени обслуживания. Таким образом, время ожидания определяется как
(1.8)
Обычно интересуются нормированным временем ожидания:
(1.9)
Для системы М/М/1
(1.10)
Для системы M/D/1
(1.11)
Таким образом, система с регулярным обслуживанием характеризуется средним временем ожидания вдвое меньшим, чем система с показательным обслуживанием. Это закономерно, поскольку время пребывания в системе и количество требований в ней пропорциональны дисперсии времени обслуживания.