В целом ряде экспериментов на токамаках оказывается, что зависимости от малого радиуса температуры и плотности оказываются подобными, то есть температура пропорциональна некоторой степени плотности. Возможно, что это явление связано с температурно-дрейфовой неустойчивостью.
Эту неустойчивость следует рассматривать в двухжидкостной модели. Будем считать, что характерная частота неустойчивости много меньше электронной ленгмюровской частоты, . В этом случае можно пренебречь инерцией электронов. Будем предполагать также, что продольная теплопроводность достаточно высока, и как ионная, так и электронная температуры вдоль силовой линии не меняются, . В этом приближении уравнение импульса для электронов упрощается, , или в фурье-представлении
. (3.6.1)
Здесь мы положили . Положим также, что невозмущённая плазма квазинейтральна, . Отсюда мы легко получаем, что электроны распределены по Больцману:
. (3.6.2)
При рассмотрении ионов будем полагать, что поперечная длина волны много больше ионного ларморовского радиуса, . Кроме того, положим . Это позволяет пользоваться МГД-уравнениями, то есть затуханием Ландау можно пренебречь.
|
|
Уравнение непрерывности в фурье-представлении дает
. (3.6.3)
Параллельная составляющая уравнения импульса имеет вид:
. (3.6.4)
Вместо уравнения энергии, пренебрегая теплообменом, воспользуемся уравнением адиабаты. При этом показатель адиабаты положим равным 5/3:
. (3.6.5)
Будем считать, что скорость ионов определяется дрейфом в электрическом поле.
. (3.6.6)
Линеаризуем уравнение (3.6.6). Все величины в первой скобке – первого порядка малости. Поэтому произведение во второй скобке можно вычислить в нулевом приближении: . В нулевом приближении все величины зависят только от радиуса, поэтому . Наиболее опасны возмущения, вытянутые вдоль силовых линий. Поэтому будем считать, что . Имея в виду, что , окончательно получаем
. (3.6.7)
Введем дрейфовые частоты
Размер (3.6.8)
Здесь – тепловая скорость, – ларморовский радиус. Для электронов . Для ионов . Введем также величинуη j:
; . (3.6.9)
Уравнение ((3.6.7) теперь перепишется так:
. (3.6.9)
Необходимо учесть также условие квазинейтральности
. (3.6.10)
Система уравнений (3.6.2)–(3.6.4) и (3.6.10) имеет решение в том и только в том случае, если её определитель обращается в ноль, то есть
. (3.6.11)
Рассмотрим случай . Дисперсионное уравнение приобретает вид: или
. (3.6.12)
Условие устойчивости имеет вид
. (3.6.13)
Это означает, что температура от периферии к центру не должна нарастать слишком быстро по сравнению с плотностью.
В реальном токамаке вследствие ненулевого шира при удалении от рациональной поверхности нарастает величина и становится порядка . В этом случае необходимо кинетическое рассмотрение. Оно даёт следующее условие устойчивости:
|
|
. (3.6.14)
Здесь , I0 и I1 – модифицированные функции Бесселя.
В случае длинноволновых (в перпендикулярном магнитному полю направлении) волн, то есть для это условие упрощается:
. (3.6.15)
Заметим, что при мода становится более устойчивой, чем в обратном случае. Этот факт был сначала обнаружен экспериментально на установке TFTR, на которой в результате нейтральной инжекции ионная температура впервые превзошла электронную. При этом формально критерий устойчивости, полученный ранее для , был нарушен, а неустойчивость не наблюдалась. И лишь позднее этот эффект был объяснен теоретически О.П. Погуце c сотрудниками.